Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein 4-stelliger Pincode mindestens eine 0 beinhaltet?

Question

Meine Frage:
Folgende Fragestellung bereitet mir leider Probleme:

wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein 4-stelliger Pincode mindestens eine 0 beinhaltet?

Meine Ideen:
Ich habe versucht das ganze ganz einfach anzugehen (vermutlich mache ich es mir damit zu einfach..):
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Stelle des Codes eine 0 beinhaltet müsste bei 1/10 liegen.
Die Wahrscheinlichkeit des ganzen Codes dann bei : 4*(1/10)

Was ist falsch an meinem Gedankengang? Über schnelle Hiölfe würde ich mich sehr freuen!

Answer 1

Annahme: Die Ziffern werden zufällig und voneinander unabhängig gewählt.

Dann gilt
P(mindestens eine 0) = P(eine 0) + P(2 Nullen) + P( 3 Nullen) + P(4 Nullen)

oder einfacher über die Gegenwahrscheinlichkeit

P(mindestens eine 0) = 1 - P(keine 0)
= 1 - (9/10)*(9/10)*(9/10)*(9/10)

= 1 -  9^4 / 10^4
= 1 - (9/10)^4

= 0.3439 = 34.39%

Comments

Anmerkung: Keine Ahnung, wie viele Leute einfach einen voreingestellten Code wie 1234 oder 0000 benutzen. Wer bewusst wählt, wählt nicht zufällig 0000. Kann aber sein, dass er etwas wählt, das er sich merken kann. Daher ist nicht gesagt, dass man überhaupt mit unabhängig gewählten gleichwahrscheinlichen Ziffern rechnen muss.
Kommt daher drauf an, wer dir Frage gestellt hat und was vorausgesetzt wird.

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Schonmal danke für deine Antwort!


Ich habe mich jetzt mit der Bernoullikette auseinandergesetzt:
Ist folgender Ansatz also auch richtig und bloß komplizierter?:

Ich errechne die wahrscheinlichkeit, ob eine 0 in dem Pincode vorkommt:

P(X)= Vektor (n/k) * p^k * (1-p) ^{n-k}

Also:

P(1) =Vektor (4/1)* 0,1^1 *(1-0,1) ^{4-1}= 0,2916

Also die Wahrscheinlichkeit, dass sich eine Null in dem Code befindet beträgt 0,2916

Wenn ich jetzt den Wert für P(2), P(3) und P(4) errechne und alle Ergebnisse addiere, habe ich dann meine Endlösung gefunden?

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Sollte funktionieren und dasselbe ergeben.

Dein Vektor (4/1) ist ein Binomialkoeffizient und wird gelesen als

( 4 tief 1) = ' vier tief eins'. (Deutschschweiz)

In Deutschland liest man auch (4 über 1). Da das als Bruch verstanden werden kann, bevorzuge ich 'tief'.

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Woran liegt es, dass sich unsere Ergebnisse unterscheiden?

Vielen Dank für deine Hilfe!!!

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P(4) = 0.0001

Du hast da eine 0 zu wenig. (?)

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Stimmt, dankeschön!

 

Eine Frage bleibt mit aber: Das ganze geht ja, wie du schon geschrieben hast, über die Gegenwahrscheinlichkeit deutlich schneller.

Also   P(mindestens eine 0) = 1 - P(keine 0)

Wenn ich das aber nun mit meiner vorliegenden Formel errechne komme ich nicht auf das richtige Ergebnis (Hier P(keine 0) für eine Stelle des Codes berechnet):

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Das 0.0001 ist P( alles Nullen).

P(keine 0) = (4 tief 0) * 0.9^4 * 0.1^0

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Danke, jetzt ist der Groschen gefallen!