Aufgabe:
Berechnen Sie für jedes positive \( n \in \mathbb{N} \) die \( n \) Nullstellen des komplexen Polynoms \( z^{n}-1 \), die sogenannten \( n \)-ten Einheitswurzeln. Zeigen Sie, dass diese eine Untergruppe der Kreislinie \( S=\{z \in \mathbb{C}|| z \mid=1\} \) bezüglich der Multiplikation bilden. ZUSATZ (FREIWILLIG): Man kann zeigen, dass für jedes \( z \in S \) die Menge \( \langle z\rangle=\left\{z^{n} \mid n \in \mathbb{Z}\right\} \) eine Untergruppe bildet. Sei \( z \) nun keine Einheitswurzel, also \( z^{n} \neq 1 \) für jedes \( n \neq 0 \). Zeigen Sie, dass \( \langle z\rangle \) dicht in \( S \) liegt, d.h. zu jedem \( c \in S \) und jedem \( \delta>0 \) exisitert ein \( w \in\langle z\rangle \) mit \( |w-c|<\delta \)
