Funktion n-ten Grades schnell faktorisieren: F(x)=x^4-10x^2+9

Question

Hi,

In meinem Heft gibt es diese Formel: F(x)=x^4-10x^2+9

ich versteh den schnellen Lösungsweg nicht aus meinem Heft, die haben das super kurz gelöst:

F(x)=x^4-10x^2+9 = (x^2-1)(x^2-9) = (x+1)(x-1)(x+3)(x-3)

Kann man das so ohne nebenrechnung Lösen?! Wenn ja wie? Ich weiß wenn ich das normal löse dann würde ich halt für x2 = z setzten und die Nullstellen ausrechnen, aber geht das auch irgendwie schneller ohne nebenrechnung?!

Also, im Heft wird halt oft einfach umgeformt und dann Nullstellen abgelesen anstatt umständlich die NS zu berechnen mit ner PQ formel... ist irgendwie eleganter und nimmt weniger Platz weg, nur geht das überhaupt?

Comments

Man kann nach der Substitution mit dem Satz von Vieta sehr schnell zerlegen:

x^2=z

z1*z^2 = 9
-(z1+z2) = -10

z^2-10t+9

(z-9)*(z-1)

Answer 1

Hi,

vielleicht kann Ich Dir noch helfen.

f(x)=x⁴-10x²+9 <-- Biquadratische Gleichung. Hier wendet man die Substitution an.

Subst. u=x²

u²-10u+9=0 |pq-Formel

u₁= 9

u₂= 1

Resubst.

x²=9  |√

x₁= 3

x₂= -3

x²=1 |√

x₃= 1

x₄= -1

f(x)= (x-3)(x+3)(x-1)(x+1)

Wenn Du das wieder ausmultiplizierst, dann erhältst Du f(x)=x⁴-10x²+9

Ich hoffe Ich konnte Dir einbisschen weiterhelfen.

Grüße,

Emre

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Leute bitte lest doch mal die Antworten die schon gegeben worden sind. Es wurde jetzt schon mehrmals gesagt das ich NICHT wissen will wie man das nach diesem z = x^2 macht, sondern wie man sofort ohne eine p-q formel die Lösung anhand der Klammerschreibweise ablesen kann...

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Ahsoo jetzt verstehe ich deine Frage...warte ich schreib das nochmal richtig hin.

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f(x)= (x-3)(x+3)(x-1)(x+1)

So kannst DUu ja nicht die Funktionsgleichung ablesen^^

Das musst Du erstmal ausmultiplizieren. Dir hilft hier die 3.Binomische Formel weiter:

(x-3)(x+3)= x²-9

(x-1)(x+1)= x²-1

(x²-9)(x²-1)

= x⁴-x²-9x²+9

= x⁴-10x²+9

PS: Wenn Du eine Funktion 4.Grades ganz schnell faktorisieren willst, brauchst Du auch die Nullstellen. Wenn Du die Subst. anwendest, dann kannst Du es ja auch mal versuchen, schriftlich zu lösen. Manchmal geht es. Wir müssten manche Aufgaben zur pq-Formel in der Schule aus dem Kopf rechnen^^

Aber das klappt ja nur, wenn es eine einfache ist. Ich denke schon, dass ihr da einen TR bekommt? Vielleicht kein GTR, aber einen TR schon?

Ich hoffe ich konnte Dir trotzdem einbisschen helfen..

Answer 2

F(x)=x4-10x2+9 = (x2-1)(x2-9) = (x+1)(x-1)(x+3)(x-3)

Satz von nullprodukt.

G(x)=(x-2)^{2}

Hat die doppelt nullstelle bei x=2.

Wenn ein produkt null ist dann ist das ergebnis auch null also deine nullstelle

Ein beispiel

(-1+1)(-1-1)(-1+3)(-1-3)=0×(-2)×(2)*(-4)=0 also eine nullstelle bei x=-1.

Beispiel für dich

(X-3)^{2}×(x+4)^{2}=h(x)

Was sind die nullstellen?

Du kannst auch ausmultiplizieren und dann suchen das ist aber unnötig

Noch fragen?

Freundliche grüße

Immai

Comments

Ich weiß, dass man die Nullstellen ablesen kann, aber ich will wissen wie man auf die Klammern schreibweise kommt ohne die Nullstelle zu kennen und ohne Taschenrecher?! Wir haben in der Prüfung keinen Taschenrechner, und wenn du das immer nach PQ formel lösen willst musst du zwangsweise die wurzel ziehen. Ich hab mich gefragt obs da nicht eine andere möglichkeit gibt oder geben muss

Denk nochmal drüber nach, das hier ist die Aufgabe:
F(x)=x⁴-10x²+9

Und gesucht ist erstmal deren Antwort:
= (x²-1)(x²-9)

Und dann kommt man ja von alleine leicht auf:
= (x+1)(x-1)(x+3)(x-3)

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Sowas zu erkennen ist übungssache

Du musst dann die binomische regeln mehr üben.

Wenn du sehen kannst das da ein binom ist geht das leixht.

Ansonstenusst du hier subt. Und dann die faktorische schreibweise schreiben.

Übung mehr geht da nicht

Zahlen erkennen

So wie bei

Satz des vietas

Da ist das selbe prinzip

Noch fragen?

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ich checks nicht? wie ist nu die Rechnung? Gibt es die jetzt oder nicht??

Was soll ich denn üben?! Ich komm ja auf die -1 als nullstelle das ist ja leicht, aber alles höhere wirds im kopf schon bissl schwierig meinst net?

Ich hätte mir nur gedacht das es irgendwie einen Weg gibt wenn ich schon eine Nullstelle weiß auf weitere zu kommen und mir von dir dazu eine Antwort erwünscht

Also nochmal die Funktion lautet: F(x)=x⁴-10x²+9

Ich setzte probeweise 1 ein und sehe ist eine nullstelle -> dann schreib ich F(x)=x⁴-10x²+9 = (x+1) ...???

geht das irgendwie so??? Das muss doch so gehen, ansonsten kann ich mir einfach nicht deren lösungsweg ohne Nebenrechnung nicht erklären...

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Also, in meiner Lösung im Heft (und allgemein in diesen Heften) hats einfach den Anschein das sie von ihrem Rechenweg auf die Nullstellen kommen, während ich nur den Weg kenne erst umständlich die Nullstellen auszurechnen und dann deren ergebnis nachzuvollziehen...

Ich wusste nur den trick das man quasi in dem Fall Zahlen einsetzt und ausprobiert. Als beschränkung nimmst aber nur zahlen die Teiler der letzten Zahl sind (also die ohne Variable).

Das Heißt in unsrem beispiel halt ich probiers mit der 1,3 und 9 ... aber das is trotzdem ziemlich schwierig im kopf.. ab der 3 gehts schon los eine Zahl hoch 4 zu nehmen -.-

Meintest du das mit Übung ? Oder gibt es da noch irgendwelche Tricks oder Möglichkeiten wie so eine Lösung zu stande kommen kann ohne das Umständliche gerechne? :/

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Hi, hier der klassische Weg über die unmittelbare Anwendung des Verteilungsgesetzes:

$$ \begin{aligned} f(x) &= x^4-10x^2+9 \\\\      &= x^4-x^2-9x^2+9 \\\\      &= x^2 \cdot \left(x^2-1\right)-9 \cdot \left(x^2-1\right) \\\\      &= \left(x^2-9 \right) \cdot \left(x^2-1\right) \\\\      &= ... \end{aligned}  $$

Gibt es dazu irgendwelche Tricks? Sicher, vermutlich mehr als ich kenne. Einer davon geht so: Ist die Summe der Koeffizienten Null, muss x=1 eine Nullstelle sein. Weiter haben wir einen biquadratischen Term

$$ \begin{aligned} f(x) &= x^4-10x^2+9 \\\\      &= \left(x^2\right)^2-10\cdot\left(x^2\right)+9 \end{aligned}  $$

Darin sind die Lösungen von x²=1 Nullstellen und die Lösungen von x²=9/1=9 auch. Damit lässt sich die Zerlegung in quadratische Faktoren sofort hinschreiben. Mit der Substitution z:=x² wird es vielleicht etwas offensichtlicher:

$$ \begin{aligned} f(x) &= x^4-10x^2+9 \\\\      &= \left(x^2\right)^2-10\cdot\left(x^2\right)+9 \\\\      &= z^2-10\cdot z+9 \\\\      &= \left( z-1 \right) \cdot \left( z-9\right) \\\\      &= \left( x^2-1 \right) \cdot \left( x^2-9\right) \\\\      &= ... \end{aligned}  $$

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Wie kommst du bei f(x) = x^2*(x^2-1) - 9*(x^2-1) auf (x^2-9)(x^2-1) ???

wie fällt denn da die 9 und das x^2 weg?! ich  checks nicht :(

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Da fällt nichts weg, ich habe (x^2-1) ausgeklammert, oder, wie die Österreicher sagen, herausgehoben.

Answer 3

F(x)=x⁴-10x²+9

1. faktorisieren im Kopf die 9.

9 = 1*9 = (-1)(-9) = 3*3 = (-3)(-3)

2. Jetzt schauen welche Faktorisierung die Summe (-10) hat. (-1) + (-9) = -10

Daher

F(x)=x⁴-10x²+9 = (x^2 + (-1)) (x^2 + (-9)) = (x^2 -1)(x^2 -9)

Stichwort hierzu ist Satz von Vieta.

Benutze den Satz von Vieta. https://de.wikipedia.org/wiki/Satzgruppe_von_Vieta