Hilfe: Konvergenz und welcher Wert

Question

ich habe folgende Aufgabe gegeben und komme nicht weiter:


Es gilt die ∑ (unendlich, u=1) (1/u^2)=(π^2/6)


Welchen Wert ergibt die Summe: 1+(1/3^2)+(1/5^2)+....


vielen Dank!!!

Answer 1

$$\sum_{n=1}^infty \frac{1}{n^2}= \sum_{n \text{ ungerade}} \frac{1}{n^2} + \sum_{n \text{ gerade}}\frac{1}{n^2} = \sum_{n \text{ ungerade}} \frac{1}{n^2} + \sum_{n }^\infty \frac{1}{4n^2} $$

Answer 2

Ich würde das mir wie folgt vorstellen:

 

Es gilt ∑ (k = 1 bis ∞) (1 / k^2) = pi^2/6

Welchen Wert ergibt die Summe: 1 + (1/3^2) + (1/5^2) + ...

S1 = ∑ (k = 1 bis ∞) (1 / k^2) = 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + ... = pi^2/6

S2 = ∑ (k = 1 bis ∞) (1 / (2·k)^2) = 1/4 · ∑ (k = 1 bis ∞) (1 / k^2) = pi^2/24

S1 - S2 = pi^2/6 - pi^2/24 = pi^2/8