Untersuchen einer Reihe auf Konvergenz mit Hilfe des Wurzelkriteriums

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{n4^n \left( \frac{n}{n+1}\right)^{2n^2}}  \)

Problem/Ansatz:

Ich habe zunächst versucht, das Wurzelkriterium auf die Reihe anzuwenden, also:

\( \alpha = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\left| n4^n \left( \frac{n}{n+1}\right)^{2n^2}\right|} = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}  (n4^n)^{\frac{1}{n}} \cdot \left( \left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n^2}\right)^{\frac{1}{n}} = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}  4\sqrt[n]{n} \left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n}  \)

An dieser Stelle fällt mir allerdings keine weitere Vereinfachung ein, die es mir erlauben würde, den Grenzwert zu bestimmen, sofern meine vorherigen Umformungsschritte überhaupt richtig waren. Für hilfreiche Tipps wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

Aloha :)

Deine bisherigen Rechenschritte sind korrekt. Weiter gehts z.B. so:$$4\sqrt[n]{n}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n}=4\cdot n^{\frac1n}\cdot\left(\left(\frac{\frac nn}{\frac nn+\frac1n}\right)^n\right)^2=4\cdot e^{\frac1n\ln(n)}\cdot\left(\frac{1}{\left(1+\frac1n\right)^n}\right)^2$$Jeder einzelne Faktor konvergiert, daher konvergiert auch das Produkt:$$\to4\cdot e^0\cdot\left(\frac1e\right)^2=\frac{4}{e^2}<1$$

Answer 2

Benutze:

n/(n+1) = (n+1-1)/(n+1) = 1 - 1/(n+1)

-> lim [((1-1/(n+1))^n]^2 =

Answer 3

1. Bedenke \(\sqrt[n]{n}\rightarrow 1\) und

2. \((\frac{n}{n+1})^n=\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}\rightarrow 1/e\)

für \(n\to \infty\).