Berechnung von Rauminhalt des Rotationskörpers von f(x) = 2*x -x^2

Question

Hallo folgende Frage wie berechnet man das Volumen des Rotationskörpers f(x) = 2*x -x^2

Answer 1

f ( x ) ist kein Rotationskörper.

Vermutlich ist gemeint, dass das Volumen des Rotationskörpers berechnet werden soll, der durch die Rotation der Kurve f ( x ) um die x-Achse beschrieben wird.

Vermutlich soll man sich dabei auch auf den Teil von f ( x ) beschränken, der zwischen dessen beiden Nullstellen x₁ = 0 und x₂ = 2 liegt.

Für das Volumen V eines durch Rotation einer Kurve f ( x ) um die x-Achse beschriebenen Körpers gilt:

V = π ∫_x1^x2 ( f ( x ) ) ² d x

vorliegend also:

V = π ∫₀² ( 2 x - x ² ) ² d x

= π ∫₀²   4 x ² - 4 x ³ + x ⁴ d x

= π [ ( 4 / 3 ) x ³ - x ⁴ + ( 1 / 5 ) x ⁵ ]₀²

= π [ ( ( 32 / 3 )  - 16 + ( 32 / 5 ) ) - ( 0 - 0 + 0 ) ] =

= π ( 16 / 15 )

≈ 3,351

Das gesuchte Volumen beträgt also:

V = 3,351 LE ³

( LE ³ : Kubik-Llängeneinheiten)