Rotation um die y-Achse

Question

 ich habe eine Frage : Wie muss ich vorgehen wenn der Rauminhalt eines Rotationskörpers verlangt wird , bei dem die Funktion nicht um die x-Achse sondern um die y-Achse rotiert ?? Müssen die Integral Grenzwerte von y oder normal von x sein Bedanke mich für jede Hilfe

Answer 1

f ( x ) = x² - 3 soll um die y-Achse rotieren.

Wir lassen den Körper um die x-Achse rotieren.
Umkehrfunktion bilden
( ich tausche x und y im ersten Schrit bereits um und stelle
dann wie gewohnt nach y um )
y = x^2 - 3
Umkehrfunktion
x = y^2 - 3
y^2 = x + 3
y = √ ( x + 3 )
Für die Fläche gilt
A ( x ) = y^2 * π
A ( x ) = [ √ ( x + 3 ) ]^2 * π
A ( x ) = ( x + 3 )  * π
Stammfunktion
S ( x ) = ∫ A ( x ) dx
S ( x ) = π * ( x^2 /2 + 3 * x )
Für einen konkret angegebenen Fall
mußt du wahrscheinlich noch die Integrationsgrenzen
umrechnen. Ansonsten gilt
V ( x ) = S ( a ) - S ( b )

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mfg Georg

 

Comments

P1(2 / 1) und P2( 3/ 6) sind hier die x oder y-Werte die Grenzen ?

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Am besten du zeichnest dir die Funktion und die
Umkehrfunktion einmal auf. Du kannst auch oben
rechts auf dieser SEite den Funktionsplotter nutzen
oder ich kann noch eine Skizze einstellen.

Ganz theoretisch oder veilleicht auch ganz einfach
ist folgenden Überlegung. Wir haben eine Funktion
und die Umkehrfunktion.
Bei der Umkehrfunktion sind die Punkte x und
y vertauscht.
Die Punkte
( 2 | 1 ) und ( 3  | 6 )
finden sich auf der Umkehrfunktion als Punkte
( 1 | 2 ) und ( 6 | 3 )
Die Integrationsgrenzen ( x -Werte ) sind also
1 und 6 ( von 1 bis 6 )

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mfg Georg

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Bitte schön.

Answer 2

Soweit ich weiß, geht das über die Bildung der Umkehrfunktion.

Comments

Also zum Beispiel f(x)= x^2 - 3 Die Umkehrfunktion ist also 1/( x^2 - 3 ) so meinst du es ?

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y = x^2 - 3 nach x umformen.
Also im Prinzip Achsen vertauschen und dann 'normal' integrieren.

Ein Parabelast genügt, als hier z.B. x>0.

y + 3 = x^2
√(y+3) = x

Jetzt

V = π ∫ (√(y+3))^2 dy              | vereinfachen integrieren und geometrisch richtige y-Grenzen einsetzen

Es gibt noch eine 2. Formel bei der die Umkehrfunktion nicht nötig, dafür kann der Integrand komplzierter sein. Sie stehet hier und beginn mit 2π: https://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsvolumen