Rotation um die y-Achse/Herleitung der Formel

Question

Meine Frage ist wie ich von diesem Zeichenwirrwarr zu der allgemeinen Formel zur Berechnung des Rotationsvolumens bei der Rotation um die y-Achse komme:

\( V_{y}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum \limits_{i=1}^{n} \Pi\left(x_{i}\right)^{2} \Delta y \)

Answer 1

stell dir mal ein paar Punkte P1(x1;y1)   P2 (x2;y2)   P3(x3;y3) etc auf dem Funktionsgraphen vor.

Bei der Rotation des Stückes von P1 bis P2 um die y-Achse entsteht sowas ähnliches wie

eine Scheibe S deren Dicke durch den Unterschied der y-Werte angegeben wird.

Und eine Scheibe mit Radius x1 ist kleiner als S und eine mit Radius x2 ist größer als S.

Zum Annähern nimmt man die kleinere (ist dann sowas ähnliches wie eine Untersumme)

und diese Scheibe ist ja ein Zylinder, hat also das Volumen pi* (x1)^2 * Δy

und das gesamte innere Volumen ist also die Summe all dieser Scheiben.

Comments

Vorstellen kann ich mir das ganze jetzt. Mir ist nur noch unklar wie ich jetzt auf diese Formel komme:

\( V_{y}=\Pi \int \limits_{a}^{b} x^{2} d y \)
Die Formel zur Berechnung der Zylinder ist ja pi* (x1)² * Δy.   Das heißt doch, dass ich in der Formel(Bild) die Volumina alle Zylinder von a bis b berechne. In der Formel habe ich ein pi und den Radius die ich miteinander multipliziere, aber wo ist das Δy?

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Δy?

wird unter dem Integralzeichen "sehr klein" und ist daher nur noch ein dy. 

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für was steht das d?

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Im Prinzip für dasselbe wie das Dreieck (Delta) , das die Höhe der Scheiben bezeichnet.

Schau dir am besten nochmals die Riemann-Summen (Unter- und Obersummen) an.

Dort wird aus den Rechtecksbreiten Δx beim Grenzübergang zum Integral auch einfach dx .

Ab dem Moment, wo du ein Integral hast, sind dx und dy nur noch ein Symbol, das dir zeigt, wie die Integrationsvariable heisst. 

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Eins noch. In der Grundformel heißt es ja, dass man n(die Dicke der Scheiben) gegen Unendlich laufen lässt. Warum? Wäre es nicht logischer n gegen Null laufen zu lassen um ein möglichst genaues Ergebnis zu erreichen?

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Ich glaube, das n ist die Anzahl der Scheiben, nicht die Dicke.