Nachweise bei einer Funktion (differenzierbar)

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar mit \( f(0)=0 \) und \( \left|f^{\prime}(x)\right|<\frac{1}{2} \) für alle \( x \in \mathbb{R} \). Zeigen Sie, dass \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f^{n}(x)=0 \) für jedes \( x \in \mathbb{R} \) ist, wobei hier \( f^{n}=\underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_{n \text { mal }} \)

bedeutet.

Answer 1

Bei der Aufgabe denkt man sofort an den Banachschen Fixpunktsatz. Ziel ist, erst einmal die Bedingung bzgl. der Ableitung zu nutzen:

Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gilt (Voraussetzungen sind hier erfüllt), daß für alle x,y ein z∈[x,y] existiert mit:

$$\frac{f(x)-f(y)}{x-y}= f‘(z) \text{ und damit } |f(x)-f(y)|\leq |x-y||f‘(z)| \leq \frac{1}{2}|x-y|$$

(Bemerkung: Damit ist die Abbildung eine Kontraktion mit L=1/2).)

Benutze nun die Voraussetzung f(0)=0 in der Abschätzung. Daraus folgt für alle x∈ℝ:

$$|f(x)| \leq \frac{1}{2}|x|\text{ und damit } |f(f(x))| \leq \frac{1}{2}|f(x)|\text{ und somit } |f^2(x)| \leq (\frac{1}{2})^{2}|x|\\ \text{ und so weiter. Das ergibt dann } \\|f^n(x)| \leq (\frac{1}{2})^{n} \text{ damit folgt dann für n gegen unendlich } \lim\limits_{n\to\infty}f^n(x) = 0 \text{ was zu zeigen war }$$