Korrektes Lesen des Folgepfeils ⇒

Question

bei den neuen Monotonie-Videos bei den Funktionen sind wir auf ein Problem gestoßen, wie man die Notation des Pfeils richtig liest:

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)

 

Erste Variante:

Der Pfeil ist ein Folgepfeil, also liest man aus x₁ < x₂ folgt f(x₁) < f(x₂).

 

Zweite Variante:

Es gab jedoch dazu Einwände, dass es gelesen ein und sein sollte, da nur die Gesamtaussage zu betrachten ist. Die Aussage ist demnach zu lesen als: Wenn x₁ < x₂ und f(x₁) < f(x₂), dann gilt strenge Monotonie.

 

Mein Ansatz tendiert zu der ersten Variante:

Aus der Aussage x₁ < x₂ folgt die Aussage f(x₁) < f(x₂), und dann gilt strenge Monotonie. Gilt die "Gesamtaussage" nicht, dann haben wir auch keine strenge Monotonie.

 

Freue mich über eure Kommentare bzw. über eine klärende Antwort.

Liebe Grüße
Kai

Answer 1

Die Bedingung für strenge Monotonie einer Funktion f ( x ) mit dem Definitionsbereich D ist:

∀_{x1,x2 ∈ D}  x₁ < x₂ ⇒ f ( x₁) < f ( x₂)

Wichtig dabei ist der Allquantor zu Beginn.

Eine Funktion f ( x ) ist  nämlich genau dann streng monoton, wenn der logische Term

x₁ < x₂ ⇒ f ( x₁) < f ( x₂)

für alle x1, x2 ∈ D , also für jede beliebige Belegung dieser Variablen mit Werten aus D den Wert WAHR liefert.

 

Würde man nun den Folgepfeil als "und" lesen, würde man also die Bedingung für strenge Monotonie so auffassen:

∀_{x1,x2 ∈ D}  x₁ < x₂ und f ( x₁) < f ( x₂)

dann gäbe es überhaupt keine streng monotone Funktion, weil diese Bedingung nicht erfüllbar ist!

Sofern nämlich der Definitionsbereich D einer Funktion f ( x ) mindestens zwei verschiedene Werte enthält (und nur dann sind Monotoniebetrachtungen ja überhaupt erst sinnvoll), kann man x₁ und x₂ so mit diesen Werten belegen, dass gilt: x₁ > x2 . Dann aber liefert der Term

x₁ < x₂ und f ( x₁) < f ( x₂)

den Wert "FALSCH".
Das aber bedeutet, dass dieser Term nicht für alle x1, x2 ∈ D den Wert WAHR liefert und somit die Bedingung

∀_{x1,x2 ∈ D}  x₁ < x₂ und f ( x₁) < f ( x₂)

nicht erfüllt ist.   

 

Der Folgepfeil ist also unbedingt als solcher aufzufassen, nicht als "und".

Answer 2

Ich kenne den Pfeil nur als Zeichen für " daraus folgt ".

mfg Georg