Berechnung von t - Integralrechnung

Question

Ermitteln Sie $$ \frac { d }{ dt } \int _{ 0 }^{ t }{ \frac { 1 }{ \sqrt { x } { (1-\sqrt { x } ) }^{ 2 } } dx } $$

Wie berechne ich die Aufgabe?

Danke für jede Hilfe :)

Answer 1

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:

Das sollte dir dann wohl weiterhelfen. :)

Comments

Kannst du den Kommentarverlauf von mir und georgborn anschauen und vielleicht weiterhelfen?
Wäre echt genial.

Answer 2

Ermittlung der Stammfunktion über Substituion

z = 1 - √ x
z ´ = - 1 / ( 2 * √ x )
z ´ = dz / dx
dx = dz / z ´
dx = dz / ( - 1 / ( 2 * √ x )
dx = dz  * ( -2 * √ x )
ersetzen
∫  1 / [  √ x  * ( 1 - √ x )^2 ] * dx
∫  1 / [  √ x * z^2 ) * dz  * ( -2 * √ x )  | Wurzel x kürzt sich weg
∫  -2 /  z^2 * dz
2 / z
rückersetzen
2 / (  1 - √ x )

Damit hätten wir die Stammfunktion.

Falls du den Rest nicht kannst
oder
bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

Ich bekomm für t = 0 raus. Macht das Sinn??

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Einen Schritt weiter weiß ich noch
[ 2 / (  1 - √ x ) ]₀^t

2 / (  1 - √ t ) - 2 / (  1 - √ 0 )
2 / (  1 - √ t ) - 2

Für das was vor dem Integral steht  d / dt  wendest du dich
am besten an den anderen Antwortgeber.

mfg Georg

 

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Ist wohl die Aufforderung die erste Ableitung zu bilden

[ 2 / (  1 - √ t ) - 2 ] ´

1 /  [ √ t * ( 1 -  √ t )^2 ]

und damit fast die Ausgangsgleichung.

mfg Georg

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Gültigkeitsbereich  beachten !

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@hj21
Durch das Vorkommen  der Variablen x und t in der Wurzel
sowie im Nenner müßte gelten

x >= 0
t >= 0

mfg Georg

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nicht nur das (Beispiel : t=9 ist ebenfalls auszuschließen)

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Ich schaue mir gerade schon die Augen aus dem Kopf

1 /  [ √ t * ( 1 -  √ t )² ]
für t = 9
1 /  [ √ 9 * ( 1 -  √ 9 )² ]
1 /  [ 3 * ( 1 -  3 )² ]
1 / ( 3 * 4 )

Wo steckt mein Fehler ?

mfg Georg

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Georg.

 

Die Ausgangsfunktion war f mit  f(x) = 1 / (√x · (1-√x)²).

Diese Funktion ist definiert für alle positiven x außer 1. Der Graph von f hat Polstellen bei 0 und bei 1. Er schmiegt sich aber für x→0 so eng an die y-Achse an, dass das Integral  I(t) = ∫₀^t f(x) dx  ( = lim_a→0+ ∫_a^t f(x) dx )  existiert.  (das hast du mit deiner Rechnung nachgewiesen, dieser Teil fehlt bei der Antwort von Gast jb56).

Bei der Polstelle t=1 ist die Situation anders.  Der Graph von f nähert sich der vertikalen Geraden  t=1 so langsam an, dass das uneigentliche Integral  ∫₀¹ f(x) dx  ( = lim_b→1- ∫₀^b f(x) dx ) nicht existiert. Deshalb kann auch die Integralfunktion I nur für t-Werte im Intervall [0 ; 1) definiert sein und dasselbe trifft dann natürlich auch auf ihre Ableitung zu.  Wie du richtig bemerkt (allerdings mit ≥ statt > aufgeschrieben) hast, ist die Funktion I an der Stelle t=0 auch nict einmal einseitig differenzierbar.

 

Ob man über eine Polstelle hinweg integrieren kann, hängt immer von der gegebenen Funktion ab und muss im Einzelfall geprüft werden.  Z.B. existiert das Integral  ∫_-4⁴  1/x dx  nicht, hingegen ist  ∫_-4⁴ 1/√|x| dx = 8.

 

Wenn die Existenz des Integrals gesichert ist und die Stetigkeit der Integrandenfunktion f klar (bzw. nachgewiesen) ist, dann kann der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung angewendet werden, der besagt, dass unter diesen Voraussetzungen die Integralfunktion I differenzierbar ist und dass  I'(t) = f(t)  gilt.

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Schönen Dank für deine ausführliche Antwort die
ich mir einmal in Ruhe anschauen werde.
Die Frage war wohl kniffliger als es die Aufgabenstellung
vermuten ließ.
Die normale Reihenfolge in der Bearbeitung :
Def-Bereich ermitteln, nach Lücken oder Polstellen
zu schauen usw sollte man wohl stets beibehalten.

mfg Georg