Kritische Stellen bestimmen und lokale Extrema berechnen

Question

Bestimmen Sie die kritische Stellen und finden sie heraus, ob es sich um lokale Minima oder Maxima handelt:

f(x,y) = -x^2-y^2+x*y+x+6

Answer 1

die kritischen Stellen finde mit Hilfe des Gradienten. Also erste Ableitungen bilden und 0 setzen:

f_x = -2x+y+1

f_y = -2y+x

Es gibt eine kritische Stelle bei x = 2/3 und y = 1/3.

Bilde die zweiten Ableitungen:

f_xx = -2

f_yy = -2

f_xy = 1

Nun noch die Hesse-Matrix aufstellen.

$$\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}$$

Nun unseren kritischen Punkt einsetzen. Und die Determinante bestimmen.

D = -2*(-2) - 1*1 = 2 > 0

Wenn die Determinate > 0 ist und der erste Eintrag f_xx < 0 ist, dann haben wir ein Maximum vorliegen. Also bei (2/3  ,1/3) haben wir ein Maximum :).

Grüße

Comments

Vielen Dank, du hast mir wirklich sehr damit geholfen, zu verstehen, wie man das macht :)

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warum ist den f xy = 0? Ist das nicht 1?

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Danke für den Hinweis. Dem ist in der Tat so. Habe das gerade mal ausgebessert ;). An der Interpretation des Ergebnisses ändert sich nichts.

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noch eine kleine Korrektur: die Determinante D=-2*(-2)-1*1 sollte 3 ergeben. Auch hier bleibt die Interpretation allerdings gleich.

LG Raphael