Bestimme die Inverse der Matrix ..dies ist eine 2x2 Matrix

Question

\( \left(\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 4 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}\mathrm{a} & \mathrm{b} \\ \mathrm{c} & \mathrm{d}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) \)

Das könnte man ja auch so lösen, statt mit dem Gauß-Verfahren?

ich habe 4 Gleichungen und 4 Unbekannte

|. 3a+2c=1

|| 4a+c=0

|||. 3b+2d=0

IV. 4b+d=1

Lösung:

a= -0.2

b= 0.4

c= 0.8

d= -0.6

so und nun?

Comments

Wenn die Lösung des LGS richtig ist, dann stimmt es. Du kannst auch die Probe machen.

---

Ja die sollte stimmen. Und was heißt das jetzt mit der Inversen matrix? Was hab ich jetzt bewiesen?

---

Du hast gezeigt, dass

$$A^{-1} = \begin{bmatrix} -0.2 & 0.4 \\ 0.8 & -0.6 \end{bmatrix}$$

die Inverse von der Matrix

$$A = \begin{bmatrix}3&2\\4&1\end{bmatrix}$$

ist, denn es muss gelten

$$A \cdot A^{-1} = E$$,

was du ja durch das Lösen des LGS gezeigt hast, dass das stimmt.

---

Hä verstehe ich nicht.

Es gibt doch diese Einheitsmatrix da mit Nullen??

---

Die Einheitsmatrix ist so definiert, dass sie auf der Diagonalen von oben links nach rechts unten nur 1-en stehen hat und sonst überall nur 0-en. In der Gleichung hast du rechts die 2x2-Einheitsmatrix stehen. Nennt man die Matrix ganz links "A", so muss die Matrix rechts daneben A^{-1} sein, damit die Gliechung stimmt (nach der Definition der inversen Matrix). Du hast jetzt einfach nur die inverse Matrix zu A berechnet. Multipliziere die linke Matrix mit der Matrix, wo du statt der Buchstaben deine errechneten Zahlen einsetzt, dann erhältst du die Matrix ganz rechts - die Einheitsmatrix.

---

Ahsoo ok Daaaanke :)

Answer 1

A^{-1} = [-0.2, 0.4; 0.8, -0.6]

Ja. Du hast hier die inverse völlig richtig ausgerechnet.
Ich weiß ja nicht welches Verfahren du zum Auflösen der Gleichungen benutzt hast. Vielleicht sogar das Additionsverfahren. Das wäre nichts anderes als das Gauss-Verfahren. Nur das Gauss es eventuell noch in Matrizenform schreibt um es zu lösen. Und du löst zwei Gleichungssysteme nacheinander und Gauss macht das mit der Determinante in einem Schritt.

[3, 2][1, 0]
[4, 1][0, 1] 3 * II - 4 * I

[3, 2][1, 0] 5 * I + 2 * II
[0, -5][-4, 3]

[15, 0][-3, 6] : 15
[0, -5][-4, 3] :(-5)

[1, 0][-1/5, 2/5]
[0, 1][4/5, -3/5]

Fertig.