Trigonometrische Gleichung mit dem Pythagoras vereinfachen

Question

Ich soll diese Aufgabe vereinfachen, alle Winkel sind Innenwinkel von einem Dreieck.

sin²(α+β/2)+sin²(180-β/2)

sin²(180-β/2)+sin²(180-β/2)

 sin²(90-β/2)+sin²(180-β/2)

Weiter weiss ich leider nicht, wie fortfahren soll....

Vielen Dank Grüsse

Comments

Ich sehe keine GLEICHUNG. LG M.

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Danke für den Hinweis, die Aufgabe bleibt gleich:

sin²(α+β/2)+sin²(180-β/2)

sin²(180-β/2)+sin²(180-β/2)

 sin²(90-β/2)+sin²(180-β/2)

 Wie weiter fortfahren soll, weiss ich leider nicht....

 

Grüsse

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Du hast da überall den Bruch Beta/2 drinn? Alpha und 180° stehen neben dem Bruchstrich?

Sind das 3 Terme, die du je einzeln vereinfachen möchtest?

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Sorry, du hast recht.  Es nicht ganz richtig. 

sin²{ (α + γ) / 2}  + sin²{ 180 - (β / 2) }

180 - β = α + γ

daraus folgt:

=> sin²{ (180 - β ) / 2 } + sin^2{ 180 - (β / 2) }

daraus folgt:

=> sin² { 90 - (β / 2) } + sin²{180- (β / 2) }

 

Ist es etwas besser lesbarer....

 

Vielen Dank Grüsse

 

 

Answer 1

Es gilt:

sin ² { (180 - β ) / 2 } + sin ² { 180 - ( β / 2 ) }

Im ersten Sinus den Argumentterm auflösen:

= sin ² { 90 - ( β / 2 )  } + sin ² { 180 - ( β  / 2 ) }

Es ist: sin ( 180 - x ) = sin ( x ) , also ist sin { 180 - ( β  / 2 ) } = sin ( β  / 2 ), also:

= sin ² { 90 - ( β / 2 )  } + sin ² ( β  / 2 )

Es ist: sin ( x + 90 ) = cos ( x ) , also ist sin { 90 - ( β / 2 )  } = sin { - ( β / 2 ) + 90 } = cos { - ( β / 2 )  }, also:

= cos ² ( - ( β / 2 ) ) + sin ² ( β  / 2 )

Es ist: cos ( - x ) = cos  ( x ) , also ist cos { - ( β / 2 ) } = cos ( β / 2 ), also:

= cos ² ( β / 2 ) ) + sin ² ( β  / 2 )

und das ist gemäß dem "trigonometrischen Pythagoras":

= 1