Cauchy- Hadamard Konvergenzradius der Potenzreihe Σ (z/2)^{2^k} ( von k=0 bis ∞)

Question

Habe ein folgendes problem:

ich habe die Potenzreihe Σ (z/2)^{2^k} ( von k=0 bis ∞)

was ich bis jetz gemacht habe:

R= 1/ limsup k→∞ ^k√(c_k) = 1/ limsup ^k√(1/2)^{2^k}=?????????

 

und dann wollte ich das wurzelkriterium anwenden aber leider kein plan :(

 

brauche hilfe,

gruß

Layla

Answer 1

Die Folge der Koeffizienten \(c_n\) der Potenzreihe \(\sum c_nz^n\), die der vorgegebenen
Reihe entspricht, ist:$$c_n=\left\{\begin{array}{ll}(\frac{1}{2})^{2^k}&,falls\; n=2^k\; für \; ein\; k\\0&, falls \; n \neq 2^k \; für \; jedes \; k \end{array}\right\}$$
Damit ergibt sich \(\sqrt[n]{c_n}=\frac{1}{2}\), wenn \(n\) eine 2-er Potenz ist,
und \(=0\), wenn dies nicht der Fall ist.

\(\sqrt[n]{c_n}\) nimmt also unendlich häfig den Wert \(0\) und unendlich häufig den Wert \(\frac{1}{2}\) an,
d.h. \(0\) und \(\frac{1}{2}\) sind genau die Häufungswerte, so dass der größere von ihnen
\(\lim\sup\sqrt[n]{c_n}=\frac{1}{2}\) ist, mithin \(R=2\).