Ich würde gerne wissen, ob meine Rechnungen zu den folgenden Potenzreihen stimmen. Es gilt, des Konvergenzradius auszurechnen:
a) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k^{2}}(z-\mathrm{i})^{k} ; \)
b) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{\pi^{k}}{k !}(z-2)^{k} \).
Meine Lösungen:
a) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(1+\frac{1}{4}\right)^{k^{2}} \cdot(z-i)^{4} \)
\( a_{k}=\left(1+\frac{1}{4}\right)^{k \cdot 4}=\left(\left(1+\frac{1}{4}\right)^{4}\right)^{4} \)
\( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|\left(\left(1+\frac{1}{4}\right)^{4}\right)^{4}\right|}=\left(1+\frac{1}{4}\right)^{4} \)
\( Q=\frac{1}{\operatorname{lm}_{k \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{4}}=\underline{\frac{1}{e}} \)
b) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{\pi^{4}}{k !}(z-2)^{k}=k^{\pi}(z-2)^{k} \)
\( D=\frac{1}{e^{\pi}} \)
Ich bin mir bei b sehr unsicher, weil ich da ja kein limsup für k gegen unendlich laufen lassen kann. Oder muss ich dennoch davon dann die k-te Wurzelziehen?
Indem ich e^pi umschreibe als (1+(pi/k)^k und dann den lim sup bilde und k gegen unendlich laufen lasse, komme ich auf 1 als Konvergenzradius. Ist das denn so richtig?
