Wendetangente: ft(x) = - t·x^3 + 3·t^2·x^2

Question

Brauche Hilfe bei der Aufgabe, bitte.

f_t (x) = -tx³ + 3t² x²      t>o

 

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente mit der größten Steigung.

 

Answer 1

Die Steigung von

f_t ( x ) = - t x ³ + 3 t ² x ²

an der Stelle x ist durch die erste Ableitung

f_t ' ( x ) = - 3 t x ² + 6 t ² x

gegeben. Die Steigung ist dort maximal wo f_t ' ( x ) maximal ist. Das ist höchstens dort der Fall, wo die erste Ableitung von f_t ' ( x ) , also f_t ' ' ( x ) den Wert Null hat. 
Man muss also die zweite Ableitung von f_t ( x ) Nullsetzen:

f_t ' ' ( x ) = - 6 t x + 6 t ² 

f_t ' ' ( x ) = 0

<=> - 6 t x + 6 t ²  = 0

Dividieren durch 6 t :

<=> - x + t  = 0

<=> x = t

 

f_t ' ' ' ( x ) = - 6 t < 0 für alle t > 0 (das ist vorausgesetzt) , also hat f_t ' ( x ) bei x = t tatsächlich ein Maximum.

Dieses hat den Wert:

f_t ' ( t ) = - 3 t * t ² + 6 t ^{2 *} t = 3 t ³

und das ist somit auch die Steigung der gesuchten Tangente an f_t ( x ).

Die gesuchte Tangentengleichung lautet also ( mit noch unbekanntem y-Achsenabschnitt b):

t : y_t ( x ) = 3 t ³ x + b

Auf dieser Tangente muss auch der Punkt ( t | f ( t ) ) = ( t | 2 t ⁴ ) liegen, es muss also gelten:

2 t ⁴ = 3 t ³ * t + b

<=> b = - t ⁴

Somit lautet die Gleichung der Tangente an f_t ( x ) mit der größten Steigung also:

t : y_t ( x ) = 3 t ³ x - t ⁴

 

Die Gleichung hängt natürlich vom Parameter t ab.

Für t = 3 etwa gilt:

f₃ ( x ) = - 3 x ³ + 3 * 3 ² x ² = - 3 x ³ + 27 x ²

Sie hat ihre größte Steigung bei x = t = 3 und die Tangente an f₃ an dieser Stelle hat also, wie berechnet, die Gleichung:

y₃ ( x ) = 3 * 3 ³ x  - 3 ⁴ = 81 x - 81

Hier ein Schaubild von f₁ ( x ) , f₂ ( x ) und f₃ ( x )

Für f₃ ( x )   ist auch die Tangente mit der größten Steigung eingezeichnet.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-+%281%29x^3+%2B+3%281%29^2+x^2+%2C+-%282%29x^3+%2B+3%282%29^2+x^2+%2C+-%283%29x^3+%2B+3%283%29^2+x^2+%2C+3+%283%29^3+x+-+%283%29^4++

Answer 2

f(x) = - t·x^3 + 3·t^2·x^2
f'(x) = 6·t^2·x - 3·t·x^2
f''(x) = 6·t^2 - 6·t·x

Wendepunkt f''(x) = 0

6·t^2 - 6·t·x = 0
x = t

Wendetangente

t(x) = f'(t) * (x - t) + f(t) = t^3·(3·x - t)

Comments

Und wocher weiß ich dann, dass es die mit der größten Steigung ist?

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Wie kann eine Funktion dritten Grades mit negativem Leitkoeffizient aussehen?

Male dir dazu verschiedene Graphen in ein Koordinatensystem.

Wo haben alle ihre größte Steigung ?

Weiterhin ist die erste Ableitung eine nach unten geöffnete Parabel. Diese hat also zwangsweise ein Maximum. Also wird die Steigung irgendwo maximal.