1/(t^3 - 3·t^2 + 2·t)
Von dem Bruch bestimmst du zunächst die Nullstellen des Nenners
t^3 - 3·t^2 + 2·t = 0
Wir können t ausklammern und die quadratische Gleichung lösen und erhalten als Nullstellen
t = 2 ∨ t = 1 ∨ t = 0
Jetzt schreiben wir den Nenner in inearfaktorzerlegung
1/(t^3 - 3·t^2 + 2·t) = 1/(t·(t - 2)·(t - 1))
Daraus machen wir den Ansatz für die Partialbruchzerlegung
1/(t·(t - 2)·(t - 1)) = a/t + b/(t - 2) + c/(t - 1)
Wir multiplizieren mit dem Nenner
1 = a·(t - 2)·(t - 1) + b·t·(t - 1) + c·t·(t - 2)
Ich setzte mal für t die Nullstellen ein und erhalte
1 = a·(0 - 2)·(0 - 1) + b·0·(0 - 1) + c·0·(0 - 2)
1 = 2·a
a = 0.5
1 = a·(1 - 2)·(1 - 1) + b·1·(1 - 1) + c·1·(1 - 2)
1 = -c
c = -1
1 = a·(2 - 2)·(2 - 1) + b·2·(2 - 1) + c·2·(2 - 2)
1 = 2·b
b = 0.5
Damit kommen wir auf folgende Partialbruchzerlegung
1/(t^3 - 3·t^2 + 2·t) = 0.5/t + 0.5/(t - 2) - 1/(t - 1)
Das können wir jetzt summandenweise sehr einfach integrieren.
