Aufgabe:
1.) Gegeben sind \( \underline{a}_{1}, \underline{a}_{2}, \underline{a}_{3}, \underline{a}_{4} \in \mathbb{C}^{2} \) mit \( \underline{a}_{1} = \left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right], \underline{a}_{2} = \left[\begin{array}{c}2+\mathrm{i} \\ 1\end{array}\right], \underline{a}_{3} = \left[\begin{array}{l}0 \\ 2 \mathrm{i}\end{array}\right], \underline{a}_{4} = \left[\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right]: \)
a) Untersuchen Sie \( \underline{a}_{1}, \underline{a}_{2}, \underline{a}_{3}, \underline{a}_{4} \) auf lineare Unabhängigkeit
i) im \( \mathbb{R} \)-Vektorraum \( \mathbb{C}^{2} \).
ii) im \( \mathbb{C} \)-Vektorraum \( \mathbb{C}^{2} \).
Tipp: Zeigen Sie: \( \exists \lambda_{1}, \lambda_{4} \in \mathbb{C}: \lambda_{1} \cdot \underline{a}_{1}+0 \cdot \underline{a}_{2}+\mathrm{i} \cdot \underline{a}_{3}+\lambda_{4} \underline{a}_{4}-\underline{0} . \)
Es geht speziell um die Aufgabe (ii) , ich verstehe leider nicht wie man auf das Ergebnis kommt? Genauer gesagt, versteh ich nicht wie der Inhalt des GLS in den Lösungen zustande kommt. Wäre super nett von euch wenn mir jemand verständich erklären könnte. Warum man sozusagen diese Vekoren bzw. komplexen Zahlen nimmt oder bzw. wie man diese durch den gegebenen Tipp erkennt.
Lösung:
ii) Zum Tipp: \( \lambda_{1} \underline{a}_{1}+0 \cdot \underline{a}_{2}+i \cdot \underline{a}_{3}+\lambda_{4} \underline{a}_{4}=\underline{0} \)
\( \Longleftrightarrow\left[\begin{array}{c} \lambda_{1}+\lambda_{4} \\ -2+\lambda_{4} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right] \quad \Longleftrightarrow \quad \lambda_{1}=-2 \quad \text { und } \quad \lambda_{4}=2 \)
Somit ist \( 2 \underline{a}_{1}+0 \cdot \underline{a}_{2}+\mathrm{i} \cdot \underline{a}_{3}+2 \underline{a}_{4}=\underline{0} \) und die Vektoren sind im \( \mathbb{C} \)-Vektorraum \( \mathbb{C}^{2} \) linear abhängig.
