Löse das LGS mit Gauß in Abhängigkeit von (a1,a2,a3,a4) ∈ Q^4

Question

Bestimmen Sie in Abhängigkeit von (a1,a2,a3,a4) ∈ Q4 die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems   über Q

x1 + 2x2 + x3 − x4 + a1 = 0

2x1 + 4x2 + 3x3 − 3x4 + a2 = 0

4x1 + 8x2 + 5x3 − 3x4 + a3 = 0

x3 + x4 + a4 = 0

Ich hab eine ahnung wie ich mit gauß das mache aber ich weiss nicht genau wie die anfangsmatrix aussieht. Kann hier vielleicht jemand helfen?

Answer 1

Du bringst die Konstanten auf die rechte Seite, dann stellst du das LGS

Ax = b auf, also

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 2 & 4 & 3 & -3 \\ 4 & 8 & 5 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -a_1 \\ -a_2 \\ -a_3 \\ -a_4 \end{bmatrix}$$

Multipliziere das mal probeweise aus mittels Matrizen-Vektor-Multiplikation. Du wirst sehen, da kommt genau das LGS raus, was oben in Gleichungsform gegeben ist (nachdem man die Konstanten auf die rechte Seite gebracht hat).

Für die Lösung des LGS kann man jetzt den Vektor mit den \(x_1, x_2, x_3, x_4\) auch weglassen bzw. durch einen senkrechten Strich ersetzen. Dann kann man es bequem mit Gauß lösen.

Comments

Jo gut danke mich haben die a's ein wenig gestört

Answer 2

[1, 2, 1, -1, -a]
[2, 4, 3, -3, -b]
[4, 8, 5, -3, -c]
[0, 0, 1, 1, -d]

[1, 2, 1, -1, -a]
[0, 0, 1, -1, 2·a - b]
[0, 0, 1, 1, 4·a - c]
[0, 0, 1, 1, -d]

[1, 2, 1, -1, -a]
[0, 0, 1, -1, 2·a - b]
[0, 0, 0, 2, 2·a + b - c]
[0, 0, 0, 2, - 2·a + b - d]

[1, 2, 1, -1, -a]
[0, 0, 1, -1, 2·a - b]
[0, 0, 0, 2, 2·a + b - c]
[0, 0, 0, 0, - 4·a + c - d]

[2, 4, 2, 0, b - c]
[0, 0, 2, 0, 6·a - b - c]
[0, 0, 0, 2, 2·a + b - c]
[0, 0, 0, 0, - 4·a + c - d]

[2, 4, 0, 0, 2·b - 6·a]
[0, 0, 2, 0, 6·a - b - c]
[0, 0, 0, 2, 2·a + b - c]
[0, 0, 0, 0, - 4·a + c - d]

- 4·a + c - d = 0
d = c - 4·a

x4 = (2·a + b - c) / 2

x3 = (6·a - b - c) / 2

x2 ist ein Freiheitsgrad

x1 = (2·b - 6·a - 4·x2) / 2