In welchen Restklassenkörpern ist die Matrix invertierbar? A=( 1,2,3 ; 2,-1,1 ; -1,1,3)

Question

Guten <morgen, mir liegt diese Aufgabe vor und ich hoffe mir kann jemand helfen,weil ich gar keinen Ansatz habe.

In welchen Restklassenkörpern ℤ_p ist die Matrix invertierbar

A=( 1,2,3 ; 2,-1,1 ; -1,1,3)

Comments

Berechne mal die Determinante 'normal' und überlege dann modulo welche Primzahl(en) das Resultat nicht Null ist.

p steht doch für Primzahl, oder?

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Laut Aufgabenstellung sollen nur Restklassenkörper betrachtet werden. Der Restklassenring Z/pZ ist aber dann und nur dann ein Körper, wenn p eine Primzahl ist. Also brauchen nur diejenigen p betrachtet zu werden, die Primzahlen sind.

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JotEs: Ist zu hoffen. Danke.

EDIT : Es stand da "Restkörperklassen"; wollte nicht zu viel gleich voraussetzen ;)

Answer 1

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$$$\Rightarrow$$$$det(A)=1*(-1)*3+2*1*(-1)+3*2*1$$$$-3*(-1)*(-1)-2*2*3-1*1*1$$$$=-3+(-2)+6-3-12-1$$$$=-15$$$$=0mod3$$$$=0mod5$$

Also:

Die Matrix ist in den Restklassenkörpern Z / 3 Z und Z / 5 Z nicht invertierbar.

In den Restklassenkörpern Z / 7 Z , Z / 11 Z und Z / 13 Z hingegen ist sie invertierbar.

Comments

Z / 2Z müsste doch auch invertierbar sein?