Welche der folgenden Restklassen sind bezüglich der Multiplikation invertierbar, welche sind Nullteiler?

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Restklassen sind bezüglich der Multiplikation invertierbar, welche sind Nullteiler? Nenne ein Kriterium, mit dem man diese Frage ”leicht“ beantworten kann. – Geben Sie bei Invertierbarkeit die inverse Restklasse an.
a) [a]15 für a ∈ {0, 1, ...,20}

b) [10]m für m ∈ {5, 6, ...,11}

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Restklasse/ Nullteiler - Kriterium

Stichworte: restklassen,invertierbar,modulo,beweise,funktion

Welche der folgenden Restklassen sind bezüglich der Multiplikation invertierbar, welche sind Nullteiler? Nenne ein
Kriterium, mit dem man diese Frage ”leicht“ beantworten kann. – Gib bei Invertierbarkeit den Kehrwert (das Inverse)
an.
a) [a]₁₅ für a ∈ {0, 1, . . . , 20}
b) [10]_m für  m ∈ {5, 6, . . . , 11}

Die Lösung dazu wäre sehr hilfreich.

Answer 1

[a]_n ist genau dann invertierbar, wenn a und n teilerfremd sind. Das Inverse kann man bestimmen indem man die Kongruenz

        a·x ≡ 1    mod n

mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus löst.

       

Comments

Dankeschön, für a) habe ich jetzt eine vernünftige Rechnung. Kannst du mir auch bei b) helfen?

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Ich kann zwischen a und b keinen relevanten Unterschied erkennen.

Answer 2

\([a]_m\) ist genau dann invertierbar, wenn

        \(\operatorname{ggT}(a,m)\) = 1

ist.