Untersuche die Funktion auf Beschränktheit, Monotonie und Krümmung: f(x)= (1/3)e^{-2x}

Question

Untersuchen Sie die Funktion auf Beschränktheit, Monotonie und Krümmung
f(x)= (1/3)e^{-2x}

Answer 1

Hi,

bestimme erstmal die Ableitungen:

f(x) = 1/3*e^{-2x}

f'(x) = -2/3*e^{-2x}

f''(x) = 4/3*e^{-2x}

f'''(x) = -8/3*e^{-2x}

 

Monotonie:

f'(x) = 0 würde eventuell einen Monotoniewechsel einläuten.

Hier haben wir aber immer f'(x) < 0.

Das heißt wir haben, da stetig, nur streng monoton fallend.

 

Krümmung:

Es gilt immer: f''(x) > 0 -> Linkskrümmung

 

Beschränktheit:

f(x) > 0, die e-Funktion wird ja selbst nie negativ.

Das heißt eine untere Schranke wäre y = 0. Genauso gut aber auch y = -5.

In jedem Falle nach oben unbeschränkt.

Grüße

Comments

@unknown
Ich bilde mich ja immer noch weiter.
" Untersuchen Sie die Funktion auf Beschränktheit, Monotonie und Krümmung "
Was ist Beschränktheit ?
Im Internet fand ich ( sinngemäß ) : bei FOLGEN eine obere oder
untere Schranke für die Werte.

Kann man den Begriff " Beschränktheit " auch auf Funktionen anwenden ?
Ist hiermit der Def-Bereich gemeint ?
Oder ist hiermit der Wertebereich gemeint ?

Der Wertebereich ist nicht so schnell ersichtlich.
Der Wertebereich einer Funktion ist der Def-Bereich der
Umkehrfunktion. Umkehrfunktion :
ln ( 3 * x ) / (-2)
Def-Bereich ] 0 ; ∞ [
Zitat : " Das heißt eine untere Schranke wäre y = 0.
Genauso gut aber auch y = -5.
In jedem Falle nach oben unbeschränkt. "

Wieso untere Schranke auch -5 ?

mfg Georg

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Guten Morgen Georg ;).


Mit Beschränkheit nimmt man Bezug auf den Wertebereich. Da würde ich aber nicht über die Umkehrfunktion gehen, sondern den Verlauf im Unendlichen anschauen. Da haben wir

x->-∞ -->> f(x) -> -∞

x->∞ -->> f(x) -> 0

Dann hatten wir das ja mit der Monotonie noch besprochen. Das heißt wir haben hier wirklich nur f(x) > 0.


Eine Schranke besagt nur so viel:

Es darf (in unserem Fall) kein Wert unterhalb der Schranke erreicht werden. Das gilt für y = -5, y = -1000, y = 0. Immer wenn man diese Schranken wählt, wird kein Wert darunter erreicht.

Es gibt noch die Spezifizierung der "größten unteren Schranke". Das wäre hier in der Tat ausschließlich y = 0 ;).

War aber nicht verlangt, deswegen der Hinweis, dass man da alles ≤0 verwenden darf.


Grüßle

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Danke ein Lot ( englisch : thanks a lot ). mfg Georg