Wie hoch ist der Lagrange-Multiplikator λ im Nutzenoptimum!

Question

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet U( x1 , x2 )= x1 0.6 x2 0.75 . Gegeben sind die Preise der beiden Güter p1 =5 und p2 =0.5 sowie das zur Verfügung stehende Einkommen in Höhe von I=140. Optimieren Sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner Konsummöglichkeiten.
Wie hoch ist der Lagrange-Multiplikator λ im Nutzenoptimum?

a. 1.57
b. 1.93
c. 2.71
d. 0.43
e. 2.14

Answer 1

Lösung:

Also, es geht auf die harte oder die leichte Tour. Ich habe es jetzt auf die leichte Tour gemacht, da die harte ziemlich umständlich ist und man sich auch gleich nicht mehr auskennt.

Also:
 

1. Wir berechnen x₁:

    x₁ = 0,6 : (0,6 + 0,75) * 140 : 5 = 12,44444444444

 

2. Wir berechnen x₂:

    x₂ = 0,75 : (0,6 +0,75) * 140 : 0,5 = 155,555555556

 

3. Wir stellen die erste Lagrage-Funktion, also die erste Funktion und deren Ableitung auf. Geht auch mit der 2.:

    0,6 x₁^-0.4 x₂^0.75 - 5λ = 0                 | + 5λ

    0,6 x₁^-0.4 x₂^0.75 = 5λ                       | Wir setzen die obigen Werte in x₁ und x₂ ein und dividieren durch 5

    9,639 ... = 5λ

    1,927991813 = λ

 

Somit ist Antwort b korrekt.

 

Hoffe, dass ich dir helfen konnte.
 

LG
Marco-Hannes Bachler
o. Student der Wirtschaftswissenschaften UIBK