Aloha :)
Wir sollen eine Kostenfunktion \(c(x;y)\) under einer konstanten Nebenbedingung \(U(x;y)\) optimieren:$$c(x;y)=3x+8y\quad;\quad U(x;y)=80\ln x+75\ln y=640$$
Nach Langrange muss in einem Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion proportional zum Gradienten der Nebenbedingung sein. Der Proportionalitätsfaktor \(\lambda\) ist der Lagrange-Multiplikator:$$\operatorname{grad}c(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}U(x;y)\quad\implies\quad\binom38=\lambda\binom{80/x}{75/y}$$
Wir dividieren die beiden Koordinatengleichungen$$\frac38=\frac{\lambda\cdot\frac{80}x}{\lambda\cdot\frac{75}y}=\frac{80y}{75x}=\frac{16y}{15x}\implies 16y=\frac38\cdot15x=\frac{45}{8}x\implies y=\frac{45}{128}\cdot x$$
Diesen Befund setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$640=80\ln x+75\ln\left(\frac{45}{128}\,x\right)\implies x=103,01301862$$
Daraus erhalten wir den Lagrange-Multiplikator:$$3=\lambda\cdot\frac{80}{x}\implies\lambda=\frac{3x}{80}\implies\lambda=3,862988$$
