Question

Wie hoch ist der durchschnittliche Lagerbestand, wenn die Lagerhöhe bei L(0)=3939.4 beginnt, mit einer konstanten relativen Rate abnimmt und bei L(24)=882.5 endet?

a. 2410.95
b. 2043.35
c. 1856.44
d. 3497.83
e. 910.84

 

Wie rechne ich das?

Answer 1

Arithmetisches Mittel

m = 1/2 * (a + b) = 1/2 * (3939.4 + 882.5) = 2410,95

Also würde ich auf a) tippen.

Comments

Lu hat recht. Ich habe hier mit einer absoluten Rate und keiner relativen gerechnet.

Hier die Rechnung mit einer relativen Rate:

Ich modelliere die Funktion der Lagerbestandsabnahme:

f(x) = 3939.4·(882.5/3939.4)^{x/24}

Jetzt bilde ich das Mittel indem ich das Integral von 0 bis 24 bilde und durch 24 teile

∫ 0 bis 24 über (3939.4·(882.5/3939.4)^{x/24}) dx / 24 = 366828/(5·LN(39394/8825))/24 = 2043.348318

Damit ist b) richtig.

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Könntest du mir den Rechnenweg noch ein wenig detailierter aufschreiben bitte? :)

Ich meine das wo du das Integral von 0 bis 24 dann bildest...

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Wir haben die Funktion

f(x) = 3939.4·(882.5/3939.4)^{x/24}

 

Dazu brauche ich als erstes eine Stammfunktion:

F(x) = 24·3939.4·(882.5/3939.4)^{x/24} / ln(882.5/3939.4)

Wir müssen bei der Kettenregel hier durch die Innere Ableitung teilen. Außerdem muß noch durch den ln der Basis geteilt werden, weil wir keine e-Funktion haben.

 

Nun brauche ich ja nur noch einsetzen:

(F(24) - F(0)) / 24 = 2043.348318

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Allgemein

Wie hoch ist der durchschnittliche Lagerbestand, wenn die Lagerhöhe bei L(0) = a beginnt, mit einer konstanten relativen Rate abnimmt und bei L(n) = b endet?

Interessanterweise ergibt sich bei allgemeiner Betrachtung die schöne Formel. Was man hier schön sieht ist, dass der Wert unabhängig von der Laufzeit ist.

L(durchschnitt) = (b - a) / (LN(b) - LN(a))

Also für obige Werte z.B.

L(durchschnitt) = (882.5 - 3939.4)/(LN(882.5) - LN(3939.4)) = 2043.3

Wie hoch ist der durchschnittliche Lagerbestand, wenn die Lagerhöhe bei L(0) = 4428.10 beginnt, mit einer konstanten relativen Rate abnimmt und bei L(30) = 908.30 endet?

L(durchschnitt) = (908.3 - 4428.1)/(LN(908.3) - LN(4428.1)) = 2221.9

Answer 2

Amelie:

Wie hoch ist der durchschnittliche Lagerbestand, wenn die Lagerhöhe bei L(0) = 4428.10 beginnt, mit einer konstanten relativen Rate abnimmt und bei L(30) = 908.30 endet?

Ich bekomme die Funktion A(t) = 4428.1 * 0.94856t

S(30) = 68431.9058

Durch 30

= 2281.0635

@Amelie:

Die Funktion ist ok.
Mein Matheprogramm meint allerdings
∫ A dt zwischen 0 und 30 ist
66652

Darstellung des Durchschnittswerts

Die Fläche des Rechtecks unter der grünen Geraden entspricht
der Fläche unterhalb der blauen Funktion.
Höhe des Rechtecks

66652 / 30

 War das deine Frage ?

Comments

 Besten Dank für eure Hilfe !!

Ich bemühe mich meinen Fehler zu finden. Habe folgender Maßen gerechnet:

L(t) = 4428.1* 0.94856^t

Stammfunktion lautet L(t) = ln(0.94856) * 4428.1* 0.94856^t

Und dann integral von 0 bis 30 und durch 30 dividieren ? Ist meine Stammfunktion richtig?

Liebe Grüße

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Mein Rechner sagt

Die Stammfunktion ist

-83849.27842 * 0.94856 ^t

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Wenn die Funktion mit L(t) bezeichnet wird sollte man nicht die Stammfunktion auch so nennen.

Die Stammfunktion lautet

L(t) = 4428.1·0.94856^t

F(t) = 4428.1/LN(0.94856)·0.94856^t

F(t) = -83849·0.94856^t

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Alles klar !! Dankeschön:-)

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Ich habe oben in meiner Antwort noch eine allgemeine Formel angefügt. Wenn du etwas Übung brauchst kannst du die selber versuchen herzuleiten. Ansonsten eignet sie sich um ähnliche Aufgaben schnell mal zur Kontrolle zu lösen.

Answer 3

Wie hoch ist der durchschnittliche Lagerbestand, wenn die Lagerhöhe bei L(0)=3939.4 beginnt, mit einer konstanten relativen Rate abnimmt und bei L(24)=882.5 endet?

Konstante relative Rate müsste eigentlich ein konstanter Faktor r sein.

L(24) = 3939.4*r^24 = 882.5

r^24 = 882.5/3939.4

r = (882.5/3939.4)^{1/24} = 0.9395687

Jetzt geometrische Reihe addieren und durch 25 teilen.

Summe S₂₅= S₁ ( 1 - r ^25)/ (1-r)

= 51467.2

durch 25 teilen.

= 2058.7

Somit bis auf Rundung: am nächsten bei b)

Comments

Ja. Du hast natürlich recht. Ich hatte das relativ  ungünstiger Weise überlesen gehabt. Ich habe es auch noch mal relativ gerechnet und es kommt genau b) heraus. Ich habe dazu eine stetige Abnahme modelliert anstatt einer Abnahme als Reihe.

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@Mathecoach. Danke für die Präzision. Hab das halb vermutet, als ich bei den Stichwörtern gesehen hatte, dass das Integration sein soll.

Also: Genaue Rechnung vgl: Mathecoach.

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Klappt das bei der Berechnung der durchschnittlichen Lagerbestandteil immer? (wenn relativen konstanten Wachstumsrate angegeben ist) ich habe auch so eine Aufgabe nur mit anderen Zahlen und habe die gleichen Rechenschritte angewendet.

Geg.

Wie hoch ist der durchschnittliche Lagerbestand, wenn die Lagerhöhe bei L(0) = 4428.10 beginnt, mit einer konstanten relativen Rate abnimmt und bei L(30) = 908.30 endet?

Ich bekomme die Funktion A(t) = 4428.1 * 0.94856^t

S(30) = 68431.9058

Durch 30

= 2281.0635

 Das ist jedoch falsch, kann mir bitte jemand sagen wo mein Fehler ist ? :(((

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@Amelie: Hast du unsere Diskussion denn gelesen? Meine Rechnung war nur "ungefähr" richtig. Ich kam damals nur nahe an b) aber nicht genau zu b).

Vgl. 

Hab das halb vermutet, als ich bei den Stichwörtern gesehen hatte, dass das Integration sein soll.

Also: Genaue Rechnung vgl: Mathecoach.

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Das ist jedoch falsch, kann mir bitte jemand sagen wo mein Fehler ist ?

Also die Funktion ist gerundet richtig.

A(x) = 4428.1·0.948564928^x

Jetzt das Integral nehmen und durch die Länge teilen.

1/30·∫ (0 bis 30) (4428.1·0.948564928^x) dx = 2221.883930

Wenn ich wie du runde

1/30·∫ (0 bis 30) (4428.1·0.94856^x) dx = 2221.754698

Ich weiß nicht wie du auf deinen Wert kommst. Daher kann ich dir auch nicht genau sagen, wo dein Fehler isr.