In dieser Aufgabe soll ein einfaches Modell für Projektion einer dreidimensionalen Szenerie auf einen zweidimensionalen Bildschirm (oder den Aufnahmebereich einer Kamera) betrachtet werden. Wir nehmen an, dass die Kamera in der x-y-Ebene liegt und betrachten hierfür die Abbildung π: ℝ^3→ℝ^3, (x,y,z) ↦ (x+az, y+bz, 0),
wobei a,b∈ℝ beliebig.
a) Zeige, dass π eine Projektionsabbildung ist und bestimme Bild und Kern von π in Abhängigkeit von a und b.
Wir nehmen nun an, dass unser Bildschirm dem quadratischen Bereich B:=[-1,1]×[-1,1]×{0} um den Ursprung entspricht.
b) Bestimme das Urbild π^-1(B) in Abhängigkeit von a und b. Fertige eine Skizze an für den Fall a= b=0.
Wenn wir annehmen, dass wir mit unserer ''Kamera" in die positive z-Richtung schauen, dann ist die Menge π^-1(B)∩{(x,y,z)∈ℝ^3 | z≥0} der Sichtbereich der Kamera. Hierbei können wir π als sogenannte Parallelprojektion des Sichtbereiches auf den Bereich B auffassen (denkbar wären auch andere Projektionen, wie etwa eine perspektivische Projektion). Zur Belebung der Szenerie sei nun Δ ein Dreieck in ℝ^3 mit Eckpunkten (0,0,1), (1,0,2), (1,1,3) gegeben.
c) Bestimme π(Δ) in Abhängigkeit von a und b (es genügt, die Bilder der Eckpunkte anzugeben).
d) Wir bewegen nun den Bereich B entlang der x-Achse, d.h. wir betrachten den verschobenen Bereich Bt :=( t,0,0)+B:={(t,0,0)+p | p∈B} für t∈ℝ und nehmen an, dass sich der Sichtbereich von B entsprechend mitverschiebt. Wir nehmen an, dass b=0. Für welche a>0 gibt es dann ein t, so dass π(Δ)⊂Bt?
Wir wollen nun die Drehung unserer Kamera gegen den Uhrzeigersinn um einen Winkel ∅ in der x-y-Ebene simulieren. Wir nehmen dafür für ∅=0 die Vektoren e1=(1,0,0) und e2=(0,1,0) ald Ausgangsbasis für die x-y-Ebene an und für ℝ^3 betrachten wir die Standardbasis e1,e2,e3=(0,0,1).
e) Beschreibe einen solchen Vorgang mit Hilfe eines Koordinatenwechsels in der x-y-Ebene (Tipp:man erinnere sich an die Drehmatrizen) und gib die darstellende Matrix für π: ℝ^3→Bild (π) in den neuen Koordinaten in Abhängigkeit von ∅.
Statt einer Drehung der Kamera kann man auch eine Drehung der Szenerie , z.B. um die z-Achse und einen Winkel ψ betrachten. Das heißt, dass wir dieses mal die Basis e1,e2 der x-y-Ebene fest lassen und stattdessen die Ausgangsbasis e1,e2,e3 von ℝ^3 verändern.
f) Beschreibe eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn um die z-Achse um den Winkel ψ als Koordinatenwechsel und bestimme eine Matrixdarstellung von π in den neuen Koordinaten. Hinweis: man bedenke, dass eine Drehung um die z-Achse diese fest lässt.
