Lineare Ungleichung: 2-x < 1/2 * x + 1/2 --> Kontrolle bitte

Question

Könnte bitte jemand meinen Lösungsweg einmal kurz kontrollieren?

Die Aufgabe lautet:      2 - x  <  1/2 * x + 1/2        ;        Lösungsmenge: ] 1; Unendlich [

Meine Lösung:

      2 - x  <  1/2 * x + 1/2          \  + (- 1/2x)

      2 - x - 1/2x   <   1/2             \  -2

     - x - 1/2 x    <  - 1,5              \  T

     - 1,5x        <    1,5                \  *( - 1/2), um somit die Negativität weg zu bekommen

      0,75x       <      0,75           \  : 0,75

              x    <     1


Ich komme so endlich auf die Lösung. Doch ist mein Weg richtig oder gibt es irgendwelche Fehler?

Denn ich hatte auch schon Aufgaben, in denen sich dann das Zeichen - hier:  <   - umdrehte. Wann genau ist das denn der Fall. Liegt das hier auch vor, wenn ich die Negativität ausgleichen, indem ich * (- 1/2) rechne?


Im Voraus schon mal vielen Dank. :)

Comments

Du hast teilweise recht umständlich umgeformt und
gerechnet, aber das gibt sich mit der Zeit.

Das Wichtige : bei Ungleichungen kehrt sich das Ungleichheits-
zeichen beim multiplizieren oder dividieren mit einer negativen Zahl
immer um.

Beispiel

4  > -5  | * (-1)
-4 < 5

-4  < 8  | : (-2)
2  > -4

mfg Georg

Answer 1

Du hast teilweise recht umständlich umgeformt und
gerechnet, aber das gibt sich mit der Zeit.

Das Wichtige : bei Ungleichungen kehrt sich das Ungleichheits-
zeichen beim multiplizieren oder dividieren mit einer negativen Zahl
immer um.

Beispiel

4  > -5  | * (-1)
-4 < 5

-4  < 8  | : (-2)
2  > -4

mfg Georg

Nachtrag : einfachster Lösungsweg

2 - x  <  1/2 * x + 1/2  | + x
2 < 1/2 * x + x + 1/2  | - 1/2
2 - 1/2 < 3/2 * x
3/2 * x > 1.5
x  >  1
Probe
2 - 1.01  <  1/2 * 1.01 + 1/2
0.99 < 1.0055

Dann habt Ihr ja beide eine falsche Lösung.

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

 

Comments

Danke für deine schnellen Antworten. :)
War ja klar, dass ich es mal wieder viel komplizierter gerechnet habe, als nötig!^^


Ich habe es jetzt noch einmal mit deinen Schritten nachgerechnet. So lerne ich persönlich am besten.
Mir stellt sich jedoch an folgender Stelle noch eine Frage:

2 - 1/2 < 3/2 * x
3/2 * x > 1.5

Das x bringst du von rechts auf die linke Seite. Wie hast du das genau gemacht?
* (-x) geht nicht ... Aber es muss noch eine negative Multiplikation sein, da sich das Zeichen umdreht.

---

Auch wieder zu kompliziert gedacht. Grins.

Lies die Ungleichung

1.5 < 3/2 * x

ganz einfach von rechts nach links, dann steht dort

3/2 * x > 1.5

mfg Georg

---

xD  ... oh man.   Also noch einfacher geht es nicht - einfach umdrehen! ^^

Vielen Dank für deine Hilfe! :)

---

Gern geschehen. mfg Georg ( König der Amateure )

Answer 2

dass sich bei einer Ungleichung das Zeichen bei Multiplikation mit einem negativen Ausdruck umdreht, ist immer der Fall:

\( -1,5 x < 1,5 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | : (-1,5) \),

\( x > -1 \).

Alles klar?

Mister

PS: Du siehst, du hast zwei Fehler, der zweite ist ein Vorzeichenfehler.

Comments

dass sich bei einer Ungleichung das Zeichen bei Multiplikation
mit einem negativen Ausdruck umdreht, ist immer der Fall:

besser wie auch bei deiner Rechnung

dass sich bei einer Ungleichung das Zeichen bei Multiplikation
oder Division mit einem negativen Ausdruck umdreht, ist immer der Fall:

mfg Georg

---

Oh man - ich hatte noch nie so viele verschiedene Lösungen, wie bei dieser Aufgabe! Aber mit diesem Weg kam ich wenigstens auf eine gut aussehende Lösung!^^

Mhhh ...
Aber wieso ergibt sich nicht     -1,5x  <   -1,5
                                              --> ich ziehe doch die 2 ab, da sie auf der linken Seite steht, wodurch es rechts heißt 1/2 - 2, was dann -1,5 ergibt.


Könntest du mir vielleicht den Weg einmal aufschreiben? Es handelt sich um eine Beispielaufgabe aus meinem Mathebuch, um Ungleichungen zu veranschaulichen. Aber der Weg ist leider nicht beschrieben.

Aber das mit dem Umdrehen des Zeichens aufgrund der Multiplikation ist jetzt verständlich.

Egal wie oft ich das durchgehe, ich finde meinen Fehler einfach nicht.

---

@ georgborn:   Danke.
                          
Schon einmal eine geklärte Frage.    :)

---

@georgborn: Die Division ist mathematisch gesehen keine eigene Operation. Sie ist eine andere Schreibweise der Multiplikation.

---

@mister

Aus dem Anfragetext ging hervor das der Fragesteller noch / doch 
einige Probleme mit der Behandlung von Ungleichheitszeichen hat.

Deshalb habe ich in diesem Fall bewußt die Formulierung " Multiplikation
oder Division "  vorgeschlagen damit dies auch dem Fragesteller klar wird
und habe dazu auch einfache Beispiele in meinem 1.Kommentar angeführt.
mfg Georg

---

Naja, eigentlich wusste er nur das mit dem Umdrehen des Zeichens nicht.

Dem Fragesteller sollte auch klar sein, dass die Division nur eine spezielle Form der Multiplikation ist.

---

Lösungsweg Fragesteller :

  - 1,5x        <    1,5                \  *( - 1/2), um somit die Negativität weg zu bekommen
  0,75x       <      0,75         
Du stimmt mir sicherlich zu das * ( -1)  anstelle * (-1/2 ) etwas einfacher
gewesen wäre.

Wenn jemand so umformt und aufgrund des etwas längeren
Lösungswegs  mit falschem Ergebnis bezweifele ich das
"" Dem Fragesteller sollte auch klar sein, dass die Division nur
eine spezielle Form der Multiplikation ist. ".

Meine Antwort ist zwar doppelt gemoppelt und für den Fachmann redundant
schadet aber nicht.

  mfg Georg

---

Diese Umformung hat doch aber nichts mit Ungleichungen zu tun.

---

Um die ganze Angelegenheit auf das Wesentliche zu bringen

Jeder kann in diesem Forum Mathefragen stellen.
Jederman kann eine Antwort, in seiner Art und Stil,  hier einstellen.

Am besten ist die Beantwortung der Frage auf dem vermuteten
Kenntnisstand des Fragestellers. Dann hat er am meisten davon.

mfg Georg

---

Das würde ich so nicht sagen. Der Fragesteller will ja seinen Kenntnisstand erweitern, also kann man ihn auch ein bisschen fordern und ihm Denkarbeit zumuten.

---

Als Fragesteller möchte ich an dieser Stelle noch meine Sichtweise hinzufügen.

Ich bin sehr froh darüber, dass mir und wie mir georgborn geholfen hat. Ich hatte bereits alle Übungsaufgaben im Mathebuch gemacht und habe mir daraufhin andere Aufgaben heraus gesucht, da ich noch Trainingsbedarf habe, zu denen es allerdings keine Lösungen gibt.
Und bei dieser Aufgabe kam ich persönlich einfach nicht weiter. Ich habe mehrere verschiedene Wege ausprobiert und kam einfach nicht auf das passende Ergebnis. Irgendwann kommt man dann an einen Punkt, an dem man sprichwörtlich wie der Ochs vorm Berg steht und seinen Fehler vor lauter denken nicht mehr erkennt. Das ich persönlich hinsichtlich Mathematik VIEL zu kompliziert denke, ist wohl deutlich geworden.
Ich finde, dass wenn jemand direkte Fragen hat und mehrere verschiedene Wege ausprobiert hat, aber irgendwann einfach nicht mehr weiter kommt, dass dann der Zeitpunkt gekommen ist, um Hilfe zu bitten. Und genau dafür ist doch so eine Plattform. Um seine Fragen stellen zu können. Etwas, das in der Schule nicht möglich ist. Da heißt es zu viel Stoff, zu wenig Zeit, keine Lust usw. Deswegen ist es wirklich toll, dass es Menschen gibt, die freiwillig helfen und den Menschen somit nicht die Freude am Lernen von Mathe nehmen!!  Denn wenn man seine Fragen nicht stellen kann oder nur halbe Antworten bekommt, die einem nicht weiterhelfen, frustriert es einen nur.

Ich persönlich habe heute gemerkt, dass ich noch mehr Übung benötige, um Routine zu erhalten und in Zukunft nicht mehr zu kompliziert zu denken.^^ Und das mit dem Umdrehen des Rechenzeichens ist mir nun auch endlich begreiflich geworden.

Somit -  nochmals Danke. Denn mir persönlich hat es sehr viel gebracht und ich sitze nicht mehr kompliziert grübelnd über dieser Aufgabe, die eigentlich TOTAL einfach ist! Nein, ich mache bereits neue Übungsaufgaben! :)

Answer 3

Die richtige Lösung wurde ja schon genannt und auch wo der Fehler lag. Zwei Sachen fände ich jedoch wichtig für Schüler weshalb ich jetzt doch noch etwas dazu schreibe.

2 - x < 1/2·x + 1/2

Wenn ich als Lösung x < 1 heraus bekomme sollte ich selber einfach mal die Probe machen können indem ich etwas kleineres als 1 einsetze. Null würde sich geradezu anbieten.

2 - 0 < 1/2·0 + 1/2
2 < 1/2

Da das nicht sein kann ist meine Probe bereits gescheitert und ich weiß, dass ich mich verrechnet habe.

Weiterhin sollte ich die Graphen von

y1 = 2 - x und y2 = 1/2·x + 1/2

in ein Koordinatensystem einzeichnen können. Wenn ich mir dann überlege für welche x der Graph von y1 unterhalb des Graphens von y2 verläuft habe ich bereits meine Lösung. Diese sollte man dann noch rechnerisch zeigen.

2 - x < 1/2·x + 1/2   | * 2
4 - 2·x < x + 1   | + 2x - 1
3 < 3·x   | : 3
1 < x
x > 1

Hier habe ich jetzt auf die Multiplikation und Division mit negativen Werten verzichtet. Man sollte aber wissen das wenn ich die Seiten vertausche sich das Ungleichheitszeichen auch umkehrt.

Comments

Die Fragesteller sind ja noch in der Lernphase.
Ein gutes Beispiel für den Lösungswegs ist
sicherlich zum Erlernen nicht verkehrt.
mfg Georg