(Kontrolle) Bernoulli -Ungleichung: Zeige x^4 + x^5 + 7 ≥ 9x für alle x > 0

Question

bin bei meinen Vertiefungsübungen im Internet auf folgende Aufgabe gestoßen: 
Beweis folgender Ungleichung mit Bernoulli-Ungleichung:
x^4 + x^5 + 7 ≥ 9x für alle x > 0

Folgendermaßen bin ich vorgegangen:
Um jeweils die Exponenten "runterzuholen", habe ich jeweils für die Polynome der linken Seite die Bernoullie-Ungleichung angewandt. Für Bernoullie-ähnliche Form habe ich zunächst x:=1+(x-1) gesetzt.

Es ergibt sich:
1+(x-1)^4 ≥ 1+4(x-1) = 4x - 3
und 
1+(x-1)^5 ≥ 1+5(x-1) = 5x - 4

Eingesetzt in die Ursprungsungleichung:
4x - 3 + 5x -4 +7 ≥ 9x

9x ≥ 9x für alle x > 0
q.e.d.

Wäre ich so richtig vorgegangen? Jegliche Beiträge würden mich freuen!
MfG

Answer 1

da fehlen ein paar Klammern:

Es ergibt sich: 
x⁴  =  ( 1 + (x-1) )⁴  ≥  1 + 4·(x-1)  =  4x - 3 
und  
x⁵  =  ( 1 + (x-1) )⁵  ≥  1 + 5·(x-1)  =  5x - 4 

......

sonst sieht es gut aus :-)

Gruß Wolfgang

Comments

Oh, ja natürlich.

Danke dir!

MfG