Stetigkeit: sei g: ℝ→ℝ und h:ℝ→ℝ stetige Funktionen so, dass für jedes q∈ℚ gilt: g(q) = h(q). Beh: g(x)=h(x) auf R.

Question

Hallo :)

habe eine problem mit einer Aufgabenstellung.

in der lautet sei g: ℝ→ℝ und h:ℝ→ℝ stetige Funktionen so, dass für jedes q∈ℚ gilt:

g(q) = h(q). Zu zeigen ist, dass g und h auf ganz ℝ übereinstimmen.

Answer 1

Für jedes \( x \in \mathbb R\) existiert eine Folge \( (q_n) \subset \mathbb Q \), die gegen x konvergiert, a.k.a die rationalen Zahlen sind dicht in den reellen. \( g(x)= g(\lim_{n \to \infty} q_n)=\lim_{n \to \infty} g(q_n)= \lim_{n \to \infty} h(q_n)=h(x) \).