Sei f(x) stetige Funktion und es gilt f(x) = x² für alle x∈ℚ. Beh: f(x) = x² gilt für alle x∈ℝ.

Question

Es sei f(x) = x² für alle x∈ℚ. Man zeige, dass dann bereits f(x) = x² für alle x∈ℝ gilt.

Ich weiß absolut nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen muss....
Nachtrag: f(x) ist nach Voraussetzung stetig.

Comments

Das stimmt gar nicht. Was ist denn mit folgender Funktion:

\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto\begin{cases} x^2, & x \in\mathbb{Q} \\
0, & x\not\in\mathbb{Q} \end{cases}\)

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Gib noch mal genau an, was alles vorausgesetzt wird. Und was behauptet wird. Nick hat Recht, was du hier stehen hast, ist falsch.

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Wenn da noch stehen würde, dass f stetig ist, dann würde das stimmen.

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Stimmt, f muss stetig sein. Habe vergessen zu erwähnen. Ansonsten ist die Aufgabe dann komplett.

Aber selbst wenn f nicht stetig ist, hätte ich nicht gedacht, dass die Aussage falsch ist. Q ist doch eine Teilmenge von R und 0 liegt auch in R und deshalb hätte ich gedacht, dass das trotzdem stimmt?!........

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Ganz ähnliche Frage: https://www.mathelounge.de/79741/wenn-f-stetig-und-f-t-0-mit-t-aus-q-warum-auch-f-s-0-fur-s-aus-r (inzwischen mit Antwort)

Answer 1

Sei \(x\in\mathbb{R}\), dann gibt es eine Folge rationaler Zahlen \((x_n)\) mit
\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_n = x\).

Wegen der Stetigkeit von \(f\) erhalten wir:

\(f(x)=f(\lim x_n)=\lim f(x_n)=\lim x_n^2=(\lim x_n)\cdot (\lim x_n)=x\cdot x =x^2\).