In welchem Bereich folgende Funktion stetig? f(x) = {x falls x∈ℚ UND 1-x falls x∈ℝ\ℚ}

Question

In welchem Bereich ist folgende Funktion stetig bzw. nicht stetig?

f(x) = {x falls x∈ℚ UND 1-x falls x∈ℝ\ℚ}

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Sei f : R → R definiert durch f(x):=x falls x € Q und f(x):=0 sonst. In welchen Punkten ist f stetig?

Stichworte: stetigkeit,funktion,stetig,rational,irrational

In welchen Punkten ist die Funktion stetig ?

In welchen Punkten ist die Funktion ƒ : ℝ → ℝ, f(x) = x für x ∈ ℚ, f(x) = 0 für x ∉ ℚ stetig ?

Ich habe mir das mal versucht aufzumalen. Die Funktion ist auf ganz ℝ stetig, aber wie zeige ich das formal ?

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Die Funktion ist auf ganz ℝ stetig, aber wie zeige ich das formal ?

Sicher? Betrachte mal die Folge \(x_n:=2+\frac{\sqrt{2}}{n}\). Gilt dann

$$ \lim_{n\rightarrow \infty} f(x_n) = f(\lim_{n\rightarrow \infty} x_n) ?$$

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also ich denk mal:

nur stetig bei x=0

An jeder anderen rationalen Stelle a gibt es eine Folge irrationaler Zahlen

etwa  a + √2/n , die gegen a konvergiert, also die Funktionswerte der

Folgenglieder alle = 0 sind.

Dann ist auch der Grenzwert der Folge der Folge der

Funktionswerte der Folgenglieder  = 0  also verschieden

von f(a)  = a ≠ 0.

Für irrationales a ist f(a) = 0 aber es gibt eine

Folge rationaler Zahlen die gegen a geht, etwa die Folge der

dezimalen Näherungswerte von a .  Und deren Funktionswerte

gehen gegen a ≠ 0.

Also nur bei 0 stetig.

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f (lim x_n) = 2 ≠ lim f(x_n) 

Aber wie hat das mit meiner Aufgabe zu tun ?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit#Definitionen

Folgenkriterium

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Hmm

Also wenn ich jetzt gucken will, ob die Funktion bei 0 stetig ist, dann :

Sei \( x_n = \frac {1}{n}\)  mit \( \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0\)

\( \lim_{n\to\infty} f(\frac{1}{n} ) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0  =  f(0) \)

Also in 0 stetig. ?

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Die Funktion ist zwar in 0 stetig, aber dein Beweis ist nicht ausreichend. Denn das Kriterium muss für alle Folgen \((x_n)\), die gegen 0 konvergieren, erfüllt sein.

Das Folgenkriterium nutzt man daher eher, um Stetigkeit zu widerlegen und nicht um Stetigkeit zu beweisen.

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uff...das ist doch ein mist -.-

Wie soll ich denn dann zeigen, dass die Funktion in 0 stetig ist, bzw. woanders nicht stetig ?

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Könnt ihr mir helfen?

!!

Answer 1

f ist nur stetig bei x=1/2.
zu jeder epsilon-Umgebung von f(1/2) = 1/2 findest du eine ganze
Delta- Umgebung von 1/2 deren Bilder   alle in der
Epsilon-Umgebung liegen.
Bei allen anderen x-Werten nicht.

Comments

Woran erkennt man das? Gibt es eine Methode zum Finden des Wertes oder habe ich gerade den Überblick nicht?

Answer 2

Da sind ja 1 Geraden mit vielen Löchern. Stell dir die Löcher einfach vor im Graphen:

~plot~x; 1-x~plot~

Wo schneiden sich die beiden Geraden?

x = 1-x      |+x

2x = 1

x = 1/2. Dazu gehört y = 1/2.

lim_(x->1/2) f(x) = f(1/2)      stimmt.

An allen andern Stellen xo existiert der Grenzwert lim_(x->xo) f(xo) nicht,

weil du immer sowohl mit rationalen als auch mit irrationalen Zahlen als auch mit einer Mischung aus Beidem gegen xo kommen kannst.