ich weiß aber nicht ob ich das formal beweisen soll oder auch mit Beispielen.
Verabschiede dich von dem Irrglauben, dass es einen Gegensatz zwischen formalem Beweis und Beweis durch Beispiel gibt.
Es gibt da keinen Gegensatz. Es gibt einen Gegensatz zwischen Beweis und Möchtegern-Beweis.
"Es gibt eine gerade Primzahl" beweist man mittels "2 ist gerade und 2 ist eine Primzahl. Also gibt es eine gerade Primzahl". Das ist ein Beweis durch Beispiel und hinreichend formal.
Wenn man "Jede Primzahl ist durch 3 teilbar" beweisen möchte mittels "3 ist durch 3 teilbar und 3 ist eine Primzahl. Also ist jede Primzahl durch 3 teilbar", dann hat man einen Möchtegern-Beweis. Dass die Schlussfolgerung "Also ist jede Primzahl durch 3 teilbar" falsch ist, kann man auch nicht mit mehr Formalitäten reparieren.
Allgemein formuliert kann man Existenzaussagen, also Aussagen der Form
Es gibt ein A, das die Eigenschaft φ hat.
beweisen indem man ein konkretes A angibt und zeigt, dass es tatsächlich die Eigenschaft φ hat. Im Gegensatz dazu kann mann Allaussagen, also Aussagen der Form
Jedes A hat die Eigenschaft φ.
nicht beweisen indem man ein konkretes A angibt.