Wo existiert der linksseitige Grenzwert? f : ℝ→ℝ und x↦ 1 für x∈ℚ, x↦ 0, sonst

Question

,

habe eine Augabe zu lösen , allerdings verstehe ich da nicht so ganz.

 die Aufgabe lautet : f : ℝ→ℝ und x↦ 1 für x∈ℚ

                                                             0, sonst

Bestimmen sie (mit Beweis) sämtliche Punkte in denen f einen linksseitigen Grenzwert besitzt.

Bestimmen Sie außerdem die zugehörigen Grenzwerte.

Also was ich nicht verstehe ist, dass diese Funktion keine Grenzwert hat, denn es wechselkt sich doch zwischen 1 und 0 .Wie kann es denn dann sein, dass es einen linksseitigen Grenzwert existiert und die ich dann beweisen soll.

Also ich hab eine eine Skizze gemacht um es nachvollziehen zu können.

Könnte mir einer bitte weiterhelfen.

Comments

Vgl. auch https://www.mathelounge.de/119738/stetigkeit-von-funktionen-punkte-finden-in-denen-stetig-ist 

Von Duplikat mit interessantem Hinweis:

Titel: Grenzwerte im Punkt x = 0 berechnen.

Stichworte: funktion,grenzwert,punkt,ableitung,analysis,nullfolge

Ich soll folgende Aufgabe lösen.

Kann mir jemand kurz erklären, wie ich diese Aufgaben lösen kann? Danke schonmal

---

Ich könnte mir nur vorstellen, dass du hier irgendwie über die Definition irrationaler Zahlen gehen sollst (als Grenzwert einer Intervallschachtelung rationaler Zahlen).

---

Vgl. auch mit https://www.mathelounge.de/237611/welchem-bereich-folgende-funktion-stetig-falls-x-falls-x und allen andern "ähnlichen Fragen".

---

Ich soll folgende Aufgabe lösen.

Teilaufgabe c) kann nicht gelöst werden.

Im Gegensatz dazu könnte die Aufgabe "Bestimmen sie sämtliche Punkte in denen h einen linksseitigen Grenzwert besitzt." sehr wohl gelöst werden.

Answer 1

Bestimmen sie (mit Beweis) sämtliche Punkte in denen f einen linksseitigen Grenzwert besitzt.

Eine mögliche Antwort wäre: "f hat an keinem Punkt einen linksseitigen Grenzwert".

Comments

So hätte ich auch geantwortet. Vielleicht ist in der Funktion ein Tippfehler.

---

ich bin auch der Meinung, dass es keinen linksseitigen Grenzwert gibt, aber verstehe auch nicht warum das in der Aufgabe so steht, denke ein Tippfehler.

ich weiß aber nicht ob ich das formal beweisen soll oder auch mit Beispielen.

Habe mich nochmal dran gesetzt um es zu üben für Klausur, aber weiß nicht wie ich das aufschreiben soll.

Meine Überlegung ist definitiv falsch bzw. nicht logisch.

Also ich hab mir überlegt, dass ja wenn ich den limes bilde für gegen unendlich von links das kommt doch für x Element aus den rationalen zahlen ja die 1 raus und für x Element aus den reellen zahlen ohne die rationalen zahlen die 0. und ich bin mir auch nicht sicher, ob das den limes gegen unendlich laufen lassen soll oder sonst irgendwo.

ich brauche echt Hilfe.

---

Für jede reelle Zahl x₀ kann man beispielsweise die Folgen x₀ - 1/n und x₀ - 2 ^1/(n+1) betrachten, die beide von links gegen x₀ konvergieren. Eine der beiden Folgen besteht nur aus rationalen Zahlen, die andere nur aus irrationalen (je nachdem, ob x₀ selbst rational ist oder nicht). Wendet man die Funktion f ("Dirichlet-Funktion") auf die Folgen an, so erhält man ein Mal die konstante Folge 0 und einmal die konstante Folge 1, diese Folgen haben also verschiedene Grenzwerte. Also existiert der linksseitige Grenzwert an der Stelle x₀ nicht (und mit gleichem Argument auch nicht der rechtsseitige). Ich hoffe, in der Argumentation ist kein Fehler.

---

vielen danke ich gucke mir das an .

Aber wie bist du jetzt zb gedanklich sofort darauf gekommen in der Klausur zb würde ich niemals draufkommen. Hat man da zb eine Technik oder wirklich Übungssache ? xD

---

Das ist eine bekannte Funktion, die Dirichletfunktion. Vielleicht hattet hattet ihr den entsprechenden Beweis in der Übung mal dran, solche Standardaufgaben werden häufig in Matheklausuren gestellt.

---

Ich glaube nicht, dass man "spontan" auf so etwas kommt, das ist mir auch nicht gelungen. Die Funktion ist mir irgendwann beim Mathe-Studium mal begegnet genau so wie ähnliche Argumente mit Angabe konkreter Folgen bei ähnlichen Funktionen. Wichtig ist, dass du solche Beispiele aktiv nachvollziehst, um sie möglicherweise auf andere Beispiele übertragen zu können.

---

Übrigens habe ich gerade noch einen Fehler bei meinem früheren Kommentar gefunden: Die Folge 2^1/(n+1) konvergiert (von oben) gegen 1, daher muss es korrekt heißen x₀+1-2^1/(n+1). Oder man wählt irgendeneine andere Nullfolge mit ausschließlich irrationalen negativen Werten.

---

ich weiß aber nicht ob ich das formal beweisen soll oder auch mit Beispielen.

Verabschiede dich von dem Irrglauben, dass es einen Gegensatz zwischen formalem Beweis und Beweis durch Beispiel gibt.

Es gibt da keinen Gegensatz. Es gibt einen Gegensatz zwischen Beweis und Möchtegern-Beweis.

"Es gibt eine gerade Primzahl" beweist man mittels "2 ist gerade und 2 ist eine Primzahl. Also gibt es eine gerade Primzahl".  Das ist ein Beweis durch Beispiel und hinreichend formal.

Wenn man "Jede Primzahl ist durch 3 teilbar" beweisen möchte mittels "3 ist durch 3 teilbar und 3 ist eine Primzahl. Also ist jede Primzahl durch 3 teilbar", dann hat man einen Möchtegern-Beweis. Dass die Schlussfolgerung "Also ist jede Primzahl durch 3 teilbar" falsch ist, kann man auch nicht mit mehr Formalitäten reparieren.

Allgemein formuliert kann man Existenzaussagen, also Aussagen der Form

        Es gibt ein A, das die Eigenschaft φ hat.

beweisen indem man ein konkretes A angibt und zeigt, dass es tatsächlich die Eigenschaft φ hat. Im Gegensatz dazu kann mann Allaussagen, also Aussagen der Form

        Jedes A hat die Eigenschaft φ.

nicht beweisen indem man ein konkretes A angibt.