Vektorprodukt: Wieso ergibt a × (b+c) das Gleiche wie a × b + a × c?

Question

Aufgabe:

ich habe eine Frage bezügliche dem Vektorprodukt. Ich verstehe nicht ganz, wieso a × (b+c) das Gleiche ergibt, wie a × b + a × c

Problem/Ansatz:

Wie soll ich mir das geometrisch vorstellen? Ich habe versucht, da eine Zeichnung zu machen, aber irgendwie machts für mich keinen Sinn, bzw. ich habs nicht hingekriegt. Mit dem Vektorprodukt bekommen wir ja eine Orthogonale, die dann einmal zu a und b orthogonal ist und dann eine zweite Orthogonale, welche zu a und c orthogonal ist. Wenn ich diese addiere, gibt es mir dann einen Vektor aus den beiden orthogonalen, wenn ich das richtig verstanden habe. Was bringt mir das?

Comments

Wir warten hier noch auf eine Berichtigung der Bezeichnungen: https://www.mathelounge.de/683149/projektion-eines-vektors-b-auf-einen-vektor-a Bitte reagiere dort noch, damit wir den "Flag" entfernen können.

Answer 1

Sinngemäß sagst du: "Mit dem Vektorprodukt a × b bekommen wir ja eine Orthogonale r, die zu sowohl zu a als auch zu b orthogonal ist und dann mit dem Vektorprodukt a×c eine zweite Orthogonale s, welche sowohl zu a als auch zu c orthogonal ist. Wenn ich diese addiere, gibt es mir dann einen Vektor r+s aus den beiden Orthogonalen."

Soweit hast du das richtig verstanden. Die Summe r+s musst du jetzt vergleichen mit a × (b+c), also der Orthogonalen sowohl auf a als auch auf der Summe a+b.

Zeichnerisch wird das schwierig. Einige Zahlenbeispiele erhärten die Gültigkeit von a×(b+c) = a × b + a × c.

Answer 2

Warum rechnest du nicht einfach \( \begin{pmatrix} a_x\\a_y\\a_z \end{pmatrix} × \begin{pmatrix} b_x\\b_y\\b_z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_x\\a_y\\a_z \end{pmatrix}× \begin{pmatrix} c_x\\c_y\\c_z \end{pmatrix} \) aus und vergleichst das Ergebnis mit \( \begin{pmatrix} a_x\\a_y\\a_z \end{pmatrix}× \begin{pmatrix} b_x+c_x\\b_y+c_y\\b_z+c_z \end{pmatrix}\) ?

Answer 3

Hallo,

die geometrische Veranschaulichung des Distributivgesetzes des Vektorprodukts ist nicht so einfach. Am anschaulichsten finde ich es in der PDF-Datei von Olaf Merkert erklärt.

https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=2ahUKEwiT5ZiV5dXmAhUEZVAKHbqfBCoQFjAAegQIAhAC&url=http%3A%2F%2Fwww.m-merkert.de%2Fmm1%2Fpool%2Fpdf%2Fvektorprodukt&usg=AOvVaw0XFBBPI_m5xQ2WeViiBHA7