Stetig, unstetig und differenzierbar? f(x): = x^2 falls x Element Q und f(x):=x^3, falls x Element R\Q.

Question

Die Funktion f : R → R sei definiert durch

\( f(x):=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}, & \text { falls } x \in \mathbb{Q} \\ x^{3}, & \text { falls } x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\end{array}\right. \)

An welchen Stellen ist die Funktion stetig bzw. unstetig? An welchen Stellen ist sie differenzierbar?

Comments

Ich schätze mal, das sind die Stellen

x1 = 0 und x2 = 1.

Answer 1

ich hab mich eben auch drangesetzt.

habs in die Formel eingesetzt: lim x->0 (f(x) - f(0)) / (x-0) . Hatte dann am ende 0 raus, aber ich weiß nicht was mir das sagen soll, also ob die Funktion in 0 nun differenzierter ist oder nicht

Comments

Gratuliere. Du hast damit \(f'(0)=0\) ausgerechnet. Wenn man \(f'(0)\) also ausrechnen kann, was wird das nun für die Frage, ob \(f\) im Nullpunkt differenzierbar (nicht differenzierter!) ist, bedeuten?

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Ich sitze auch an der Aufgabe.

Eine Funktion f ist genau dann differenzierbar an der Stelle x0 ihres Definitionsbereiches, wenn der Grenzwert der Differenzenquotienten existiert. 

Demnach müsste die Funktion an der Stelle x=0 differenzierbar sein.

Oder täusche ich mich da?

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Mir fällt gerade auf dass das bullshit war ^^

Da es sich ja um eine "zusammengesetzte" Funktion handelt, mit f1(a)=f2(a), ist diese an der Stelle a differenzierbar, falls f1'(a)=f2'(a) gilt.

(Rechtsseitige und linksseitige Ableitung müssen übereinstimmen)

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Bist du mit der Aufgabe weitergekommen?
Ich habe irgendwie Probleme mit dem Verlauf der Funktion. Kann mir irgendwie nicht so wirklich vorstellen, wie diese verläuft....

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Also ich denke, die Funktion ist in 0 differenzierbar...Aber diese ganzen Aussagen verwirren mich jetzt wieder.

Ich versteh auch nicht wie die Funktion verlaufen soll. Wollte mir das mit geogebra zeichnen lassen, aber da kann ich ja die Bedingungen nicht eingeben.

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also ich komme bisher auch nicht wirklich weiter..
Keine hier der einen schlauen Rat/Antwort hat?

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niemand der hier noch helfen kann?

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Die Funktion sieht so aus:

~plot~x^2;-x^2~plot~

Oben muss man sich Loecher für rationales x, unten für irrationales x dazudenken. Da sowohl die rationalen als auch die irrationalen Zahlen dicht in den reellen liegen, kann man das nicht besser zeichnen.

Fuer die Frage nach der Ableitung im Nullpunkt ist $$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\ldots$$ zu betrachten. Beim Ausfuellen der ... ist eine Fallunterscheidung hilfreich.

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aber durch diese Fallunterscheidung weiß ich leider nicht wie ich mit der Formel vorgehen soll

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Ich verstehe nicht, wofür ich eine Fallunterscheidung brauche ?

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Ich vermute stark, es liegt daran, dass f auch zwei Zweige hat, einen für rationales und einen für irrationales x. Das muss sich zwangsweise auch auf die Auswertung des Differenzenquotienten auswirken. Der hat dann auch zwei Zweige, einen für rationales und einen für irrationales x

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langsam verwirrt mich die Aufgabe immer mehr...
Es muss doch irgenwas geben womit man die Differenzierbarkeit in 0 zeigen kann..

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Was denkst Du darueber? $$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\begin{cases}x&\text{fuer irrationales $x$},\\-x&\text{fuer rationales $x$.}\end{cases}$$ Und jetzt \(x\to0\). Meinst Du, das schaffst Du vollends alleine?

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ich setze also einfach nur x und -x ein, lasse lim x->0 laufen, habe dann dabei 0 raus und damit ist die Funktion in 0 diffb. ?

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ist das nicht zu einfach?

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Du moechtest komplizierter argumentieren? Auch recht. Es ist \(f(h)-f(0)=\pm h^2\).Da ein in \(h\) linearer Anteil fehlt, ist \(f'(0)=0\).