Stetigkeit nur in einem Punkt: f(x):= 0 für x€Q und f(x):= x für x€R\Q

Question

Aufgabe:

a) Zeigen Sie, dass die Funktion nur in x = 0 stetig ist:

\( f: R \rightarrow R \)

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{0,} & {x \in Q} \\ {x,} & {x \in R \backslash Q}\end{array}\right. \)

b) Für die Funktion g: ℝ → ℝ gelte |g(x)| ≤ M für alle x ∈ ℝ, wobei M > 0 ist. Zeigen Sie:

Die Funktion f: ℝ → ℝ mit f(x) := x*g(x) ist stetig im Nullpunkt.

Answer 1

a) kannst du mit dem Folgenkriterium machen. Nimm eine beliebige Folge \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\), die gegen 0 konvergiert und zeige, dass die Folge der Funktionswerte \((f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}\) gegen f(0)=0 konvergiert. Damit ist die Funktion dann stetig in 0.
Und für jedes \(x_0\neq 0\) kannst du eine konkrete Folge angeben, die gegen \(x_0\) konvergiert, bei der die Folge der Funktionswerte aber nicht gegen \(f(x_0)\) konvergiert (bei der Angabe einer solchen Folge solltest du eine Fallunterscheidung machen für \(x_0\in\mathbb{Q}\) und \(x_0\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)).

Comments

Also Stetigkeit in x = 0:

Sei Xn = 1/n , dann ist der limes  = 0 und der limes von f(Xn) = 0 = f(0) ✓

Unstetigkeit in x ≠ 0:

Fall 1: x ∈ Q

Sei Xn = z und z ∈ Q, dann ist Limes (Xn) = z und das ist ungleich limes f(Xn) = 0 

Bei Fall 2 kommt allerdings Stetigkeit raus:

Xn = i und i ∈ R\Q, dann ist Limes (Xn) = i und das ist gleich limes f(Xn) = i

Wo ist da der Fehler?

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Erstmal zu x=0: Um Stetigkeit zu zeigen, musst du zeigen, dass für jede Folge, die gegen 0 konvergiert, die Funktionswerte auch gegen 0 konvergieren. D.h. du darfst nicht einfach eine konkrete Folge nehmen.

Bei \(x\in\mathbb{Q}\) verstehe ich nicht, wie deine Folge definiert ist. Was ist z? Und soll die Folge konstant sein?

Um Unstetigkeit in x zu zeigen, reicht es, eine konkrete Folge anzugeben, die gegen x konvergiert, aber die Funktionswerte nicht gegen f(x) konvergieren.

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Das unterstrichene habe ich nochmal geändert.

Also Stetigkeit in x = 0:

Sei Xn ein Folge mit  limes (Xn)  = 0 , dann ist limes von f(Xn) = 0 = f(0) ✓

Unstetigkeit in x ≠ 0:

Fall 1: x ∈ Q

Sei Xn = z eine konstante Folge mit z ∈ Q, dann ist Limes (Xn) = z und das ist ungleich limes f(Xn) = 0 

Bei Fall 2: Also unabhängig von konkreter oder unkonkrete Folge, ganz allgemein gilt das:

Xn = i und i ∈ R\Q, dann ist Limes (Xn) = i und das ist gleich limes f(Xn) = i

Dh. es gibt keine konkrete Folge die gegen x konvergiert, aber die Funktionswerte nicht gegen f(x), weil
 
f(x) = x für alle x ∈ R\Q gilt.

Fällt dir ein konkretes Beispiel ein? Ich verstehe den Sinn echt nicht.

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Ich merke gerade, dass das hier wahrscheinlich einfacher geht mit dem \(\varepsilon-\delta\)-Kriterium. Willst du das mal probieren?
Danach kann ich dir auch nochmal zeigen, wie das mit den Folgen funktionieren würde.
Nur zwei Hinweise:
"Sei Xn ein Folge mit  limes (Xn)  = 0 , dann ist limes von f(Xn) = 0 = f(0) ✓"
Das müsstest du noch begründen.

Und bei Fall 1 und Fall 2 ist das Problem, dass du immer nur konstante Folgen betrachtest. Damit klappt das natürlich nicht.

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Zuerst, danke für die Hilfe.

Ich habe es am Ende noch hinbekommen. Auch mit dem Folgenkriterum.

Was mir gefehlt hat, war eine (Für Fall 2) konkrete Folge zu finden. Selbst als ich die von einem Kommilitonen bekommen hatte, ergab es keinen Sinn. Erst als ich merkte. Dass Der Grenzwert der Folge in Q liegen muss, sodass

limes f(Xn) nicht in R\Q. Nur dann kommt man zu diesem Widerspruch. (Für alle anderen De**en nach mir, die auch nicht auf Anhieb drauf gekommen sind :)