Extrema:
f(x) = x−aex
f '(x) = -a * x-a-1 * e^x + x-a * e^x = e^x * (-a * x-a-1 + x-a)
0 = e^x * (-a * x-a-1 + x-a)
0 = (-a * x-a-1 + x-a)
0 = x-a-1 *(-a + x ) / x-a-1 wird nie 0 für x>0
0 = -a + x
x = a
f '' (x) = e^x * (-a * x-a-1 + x-a) + e^x *(-a*(-a-1)*xa-2 + -a * x-a-1) = e^x * (x-a - 2a * x-a-1 + (a^2 +a) * x-a-2)
f '' (a) = e^a * (a-a - 2a * a-a-1 + (a^2 +a) * a-a-2) = e^a * (a-a - 2a * a-a-1 + a^2 * a-a-2 + a * a-a-2)
= e^a * (a-a - 2 a-a + a-a + a-a-1) = e^a * a-a-1 > 0 (weil a>0, weil x>0) ⇒ Minimum
f '' (x) = e^x * (x-a - 2a * x-a-1 + (a^2 +a) * x-a-2) = e^x * x-a-2 * (x^2 - 2ax + a +a^2 ) = e^x * x-a-2 * ((a-x)^2 + a)
Für a≥0 ist dieser Ausdruck immer größer 0, also ist f(x) konvex für alle x∈D.