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Sei a ∈ R. Ich soll alle lokalen Extrema von f : (0,∞) R, x → x−aex  bestimmen und wo ist f konvex bzw. konkav?

 

Könnt ihr helfen?

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 f : (0,∞) R, x → x−aex → x

Was macht hier der zweite Pfeil? Sollte das etwas anderes sein?

Hey Lu tut mir leid, hast natürlich recht. War dann ein Tippfehler 

also nach ex kommt kein Pfeil und kein x 

Der 2. Pfeil fällt also weg 

Aha. Pfeil und x sind jetzt weg.

Gibt's zu a irgendwelche Vorgaben?
Jap genau :)
Jap genau das letzte weg :).

1 Antwort

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Extrema:

f(x) = x−aex

f '(x) = -a * x-a-1 * e^x + x-a * e^x = e^x * (-a * x-a-1 + x-a)

0 = e^x * (-a * x-a-1 + x-a)

0 = (-a * x-a-1 + x-a)

0 = x-a-1 *(-a + x )            /  x-a-1 wird nie 0 für x>0       

0 = -a + x

x = a

f '' (x) =  e^x * (-a * x-a-1 + x-a) + e^x *(-a*(-a-1)*xa-2 + -a * x-a-1) = e^x * (x-a - 2a * x-a-1 + (a^2 +a) * x-a-2)

f '' (a) = e^a * (a-a - 2a * a-a-1 + (a^2 +a) * a-a-2) = e^a * (a-a - 2a * a-a-1 + a^2 * a-a-2 + a * a-a-2)

          = e^a * (a-a - 2 a-a + a-a + a-a-1) = e^a * a-a-1 > 0 (weil a>0, weil x>0) ⇒ Minimum

 

f '' (x) = e^x * (x-a - 2a * x-a-1 + (a^2 +a) * x-a-2) = e^x * x-a-2 * (x^2 - 2ax + a +a^2 ) = e^x * x-a-2 * ((a-x)^2 + a)

Für a≥0 ist dieser Ausdruck immer größer 0, also ist f(x) konvex für alle x∈D.

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