Drei Fragen zur Kurvendiskussion - Konkav/Konvex, Extrema/Minimum/Maximum

Question

Ich habe Fragen zur Kurvendiskussion:

1. Frage:

Also in bestimmten Aufgaben wird gefragt: "Bestimmen Sie das Maximum und Minimum im angegebenen Interval",
oder "bestimmen Sie die Extrempnkte von g - g ist definiert durch x ∈ [-1,2]"
In anderen Aufgaben steht dann "bestimmen Sie lokale Extrempunkte und Extremwerte" etc...

Ich komme hier einfach mit den Ausdrücken nicht klar, manchmal muss ich eine Extremstelle suchen, ohne die Intervalgrenzen mit zu betrachten, manchmal muss ich als Maximalwert auch prüfen, ob die Intervalgrenze höher oder kleiner ist als der Extrempunkt den ich berechnet habe....

Dann komme ich auch nicht ganz klar mit dem Unterschied lokal und global, lokal bezieht sich auf ein Interval und global auf die gesamte Funktion. Aber ich dachte immer EXTREMPUNKTE ist wirklich ein Minimum und Maximum, also quasi ein Scheitelpunkt wie bei der Normalparabel.... Manchmal wird als globaler Extrempunkt aber auch wieder die Intervalgrenze genommen.... Kann mir das vielleicht jemand nochmal erläutern oder kennt einen guten Link wo sowas steht?


2. Frage:

Eine gegebene Funktion f(x) = (1+ [2/x]) * √(x+6).

Wie bestimme ich hier den Definitionsbereich und wie kann ich sagen wo f(x) posotiv ist?
Den Definitionsbereich kann ich nur in soweit eingrenzen, dass f(x) nicht definiert ist, wo x den Wert 0 oder -6 annimmt. Reicht sowas aus? Wie bestimme ich dann weiterhin wo die Funktion positive Werte annimt?

3. Frage:

Aufgabenstellung: Bestimmen sie, wo die Funktion konvex ist und die möglichen Wendepunkte.
Beispielfunktion: f(x) = x / (1+x^2)
Ich weiß, dass eine Funktion konvex ist, wenn f '' (x) > 0 ist, aber wie berechne ich Stellen wo die Funktion konvex ist und wo nicht?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Drei Fragen zur Kurvendiskussion - Konkav/Konvex, Extrema/Minimum/Maximum

Zur 1. Frage: Unterschied zwischen lokalen und globalen Extrema in einem Intervall

Lokale Extrempunkte sind Punkte auf der Funktion, an denen die Funktion ein lokales Maximum oder Minimum erreicht - das heißt, in einer kleinen Nachbarschaft um diesen Punkt herum ist der Funktionswert an diesem Punkt entweder größer oder kleiner als alle anderen Funktionswerte in dieser Nachbarschaft. Globale Extremwerte beziehen sich auf die höchsten oder tiefsten Punkte der gesamten Funktion bzw. innerhalb des betrachteten Intervalls. Bei der Berechnung von Extrema innerhalb eines Intervalls ist es wichtig, sowohl die Extremstellen in diesem Intervall (lokale Extrema, die durch die erste Ableitung gefunden werden können) als auch die Endpunkte des Intervalls zu untersuchen, um globale Extrema im Intervall zu bestimmen.

Zur 2. Frage: Definitionsbereich und positive Werte der Funktion \( f(x) = (1 + \frac{2}{x}) \cdot \sqrt{x + 6} \)

Definitionsbereich: Für den Definitionsbereich der Funktion müssen wir sicherstellen, dass der Ausdruck unter der Wurzel positiv ist (da die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert ist) und dass der Nenner im Bruch nicht Null ist. Also müssen wir haben:

1. \( x + 6 > 0 \) ergibt \( x > -6 \).
2. \( x \neq 0 \) da sonst der Nenner Null wäre.

Somit ist der Definitionsbereich: \( x \in ( -6, 0) \cup (0, \infty ) \).

Positive Werte: Um zu bestimmen, wann \( f(x) \) positiv ist, betrachten wir die beiden Terme getrennt:

1. \( 1 + \frac{2}{x} \) ist positiv, wenn \( x > 0 \) oder \( x < -2 \) (da dies den Bruch positiv macht).
2. \( \sqrt{x + 6} \) ist immer positiv im gesamten Definitionsbereich der Funktion, da die Wurzel einer positiven Zahl immer positiv ist.

Zusammen bedeutet dies, dass \( f(x) \) für \( x > 0 \) sowie \( x \in (-6, -2) \) positiv ist.

Zur 3. Frage: Konvexität und Wendepunkte der Funktion \( f(x) = \frac{x}{1+x^2} \)

Um Konvexität und Wendepunkte zu bestimmen, benötigen wir die zweite Ableitung der Funktion:

1. Erste Ableitung: \( f'(x) = \frac{(1 + x^2) \cdot 1 - x \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} \)
2. Zweite Ableitung: \( f''(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}) \)

Die zweite Ableitung ist zu berechnen durch das Anwenden der Quotientenregel und/oder der Kettenregel, was zu einer komplexeren Ausdruck führt. Im Allgemeinen gilt:
- Wenn \( f''(x) > 0 \), ist die Funktion konvex (nach oben geöffnet).
- Wenn \( f''(x) < 0 \), ist die Funktion konkav (nach unten geöffnet).
- Wendepunkte treten dort auf, wo \( f''(x) = 0 \) oder \( f''(x) \) undefiniert ist und die Krümmung der Funktion sich ändert.

Um die genauen Stellen zu finden, an denen die Funktion konvex oder konkav ist und wo mögliche Wendepunkte liegen, müsste man die zweite Ableitung ausrechnen und dann auf Vorzeichenwechsel untersuchen.