Question

Sei a ∈ R. Ich soll alle lokalen Extrema von f : (0,∞) R, x → x^−ae^x  bestimmen und wo ist f konvex bzw. konkav?

 

Könnt ihr helfen?

Comments

 f : (0,∞) R, x → x^−ae^x → x

Was macht hier der zweite Pfeil? Sollte das etwas anderes sein?

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Hey Lu tut mir leid, hast natürlich recht. War dann ein Tippfehler 

also nach e^x kommt kein Pfeil und kein x 

Der 2. Pfeil fällt also weg 

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Aha. Pfeil und x sind jetzt weg.

Gibt's zu a irgendwelche Vorgaben?

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Jap genau :)

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Jap genau das letzte weg :).

Answer 1

Extrema:

f(x) = x^−ae^x

f '(x) = -a * x^-a-1 * e^x + x^-a * e^x = e^x * (-a * x^-a-1 + x^-a)

0 = e^x * (-a * x^-a-1 + x^-a)

0 = (-a * x^-a-1 + x^-a)

0 = x^-a-1 *(-a + x )            /  x^-a-1 wird nie 0 für x>0       

0 = -a + x

x = a

f '' (x) =  e^x * (-a * x^-a-1 + x^-a) + e^x *(-a*(-a-1)*x^a-2 + -a * x^-a-1) = e^x * (x^-a - 2a * x^-a-1 + (a^2 +a) * x^-a-2)

f '' (a) = e^a * (a^-a - 2a * a^-a-1 + (a^2 +a) * a^-a-2) = e^a * (a^-a - 2a * a^-a-1 + a^2 * a^-a-2 + a * a^-a-2)

          = e^a * (a^-a - 2 a^-a + a^-a + a^-a-1) = e^a * a^-a-1 > 0 (weil a>0, weil x>0) ⇒ Minimum

 

f '' (x) = e^x * (x^-a - 2a * x^-a-1 + (a^2 +a) * x^-a-2) = e^x * x^-a-2 * (x^2 - 2ax + a +a^2 ) = e^x * x^-a-2 * ((a-x)^2 + a)

Für a≥0 ist dieser Ausdruck immer größer 0, also ist f(x) konvex für alle x∈D.