Frosch in Kugel Aquarium

Question

Lucy hält sich auf Ihrer Rausmstation einen Frosch Quark als Haustier.

Dieser schwimmt in einer Wasserkugel von 2m Durchmessser bei 4 Grad.

Lucy möchte mit  Qark gerne 5m tief tauchen .

Das Wasser ist aber zu kalt,  Sie taucht  nur  bei 23 Grad.

Welche Eigenschaften hat die Wasserkugel die Lucy in das Aquarium pustet, damit Sie mit Quark tauchen kann?

Comments

Irgendwie weiß ich nicht wie die Aufgabe gemeint ist.

Heißt dass, man kippt die Wasserkugel von 2 m Durchmesser und 4 Grad in der der Frosch ist zusammen mit einer anderen Wasserkugel beliebigem Duchmessers und beliebiger Temperatur in ein Aquarium das dann zu 5 m mit 23 Grad warmen Wasser gefüllt sein muss.

In welcher Kugel schwimmt der Frosch nach dem Tauchen, wenn er kein angenehmes 4 Grad Wasser mehr hat ?

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Ist der Radius der Kugel nicht auch von der Temperatur abhängig?

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Ja sicherlich. Aber es geht ja erstmal darum wie die Aufgabe überhaupt gemeint ist. Hier ist von einer Wasserkugel die Rede in der der Frosch schwimmt. Dann ist die rede von einer unbekannten Wasserkugel die Lucy ins Aquarium pustet (was auch immer pusten bedeuten soll) und dann ist von einem Aquarium die Rede über das noch nichts ausgesagt wurde.

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Klar das Aquarium ist die schwebende Wasserkugel :)

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Ok. Dank JotEs vorbildlicher Rechnung habe ich verstanden wie es gemeint war.
Und man müsste die Dichte einbeziehen. Das kannst du ja gerne mal machen indem du den Ansatz von JotEs noch etwas verfeinerst.

Answer 1

Die Beiden befinden sich ausdrücklich in einer Raumstation, es darf also wohl angenommen werden, dass Schwerelosigkeit herrscht.

Unter dieser Annahme braucht die Kugel, in der der Frosch schwimmt, keine festen Wände, sondern ist einfach eine im Raum schwebende Kugel aus Wasser. Gleiches gilt für die zweite Wasserkugel, die Lucy in die Froschkugel hineinpustet.

Sobald die beiden Wasserkugel sich berühren, bilden sie eine neue, größere Kugel. Diese muss folgende Eigenschaften haben, damit Lucy darin 5 m tief tauchen kann:

Wassertemperatur T = 23 ° C

Radius r = 5 m.

Daraus kann man nun auf die Eigenschaften der hineingepusteten zweiten Kugel schließen:

Deren Volumen V₂ muss gleich dem Volumen V einer Kugel mit dem Radius r = 5 m abzüglich dem Volumen V₁ der Froschkugel sein. Die Froschkugel hat einen Radius von 1 m und somit ein Volumen von:

V₁ = ( 4 / 3 ) * π * 1 ³ ≈ 4,189 m ³

Eine Kugel mit 5 m Radius hat das Volumen

V = ( 4 / 3 ) * π * 5 ³ ≈ 523,599 m³

Somit muss die in die Froschkugel hineingepustete zweite Kugel das Volumen:

V₂ = V - V₁

= ( 4 / 3 ) * π * 5 ³ - ( 4 / 3 ) * π * 1 ³

= ( 4 / 3 ) * π * ( 5 ³ - 1 ³ )

= ( 4 / 3 ) * π * 124

≈ 519,410 m³

 

Der Radius einer solchen Kugel beträgt: 

r₂ = ³ √ ( 124 ) ≈ 4,9866 m

 

Für die Mischungstemperatur T_m der sich bildenden großen Kugel gilt:

T_m = ( m₁* c₁ * T₁ + m₂ * c₂ * T₂ ) / ( m₁* c₁ + m₂* c₂ )

Da beide kleineren Kugeln aus Wasser bestehen, gilt für die Wärmekapazitäten: c₁ = c₂ und somit kürzen sich die c_i heraus. Es verbleibt:

T_m = ( m₁* T₁ + m₂ * T₂ ) / ( m₁ + m₂ )

wobei

T₁ = 4 °C = 277,15 K beträgt und

T_m = 23 ° C = 296,15 K betragen soll, also:

296,15 K =  ( m₁* 277,15 K + m₂ * T₂ ) / ( m₁ + m₂ )

Da man sich für die Temperatur T₂ der hineingepusteten Wasserkugel interessiert, löst man diese Formel nach T₂ auf:

<=> 296,15 K * ( m₁ + m₂ ) = ( m₁* 277,15 K + m₂ * T₂ )

<=> 296,15 K * ( m₁ + m₂ ) -  m₁* 277,15 K = m₂ * T₂

<=> T₂ = ( 296,15 K * ( m₁ + m₂ ) -  m₁* 277,15 K ) / m₂

Wasser hat eine Dichte von 1000 kg / m³ , also:

m₁ = V₁ * 1000 = 4189 kg

m₂ = V₂ * 1000 = 519410 kg

Einsetzen ergibt schließlich:

T₂ = ( 296,15 K * 523599 -  4189 * 277,15 K ) / 519410

≈ 296,30 K

≈ 23,15 °C

 

Zusammenfassung:

Die Eigenschaften der von Lucy in die Froschkugel hineingepusteten Wasserkugel sind also:

Radius: ³ √ ( 124 ) m ≈ 4,9866 m

Volumen: ( 4 / 3 ) * π * 124 ≈ 519,410 m³

Temperatur:  23,15 °C

Comments

Ok. So macht die Aufgabe vielleicht etwas Sinn.
Leider hast du nicht ganz berücksichtigt das sich die Dichte von Wasser ändert wenn es unterschiedlich warm ist.Aber der Volumenausdehnungskoeffizient ist mit 0.00018 auch eventuell vernachlässigbar klein.
Auf jedenfall erleichtert es die Rechnung wenn man ihn einfach weglässt.

Aber einen Daumen für die sehr schöne Rechnung.
Der Fragesteller kann das ja mal mit Berücksichtigung der Dichte machen.

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Warum muss die Kugel 10m Durchmesser haben damit Lucy 5m tauchen kann?

Lucy taucht in die Kugel ein und wieder raus oder?

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Der Gast ie13 kam meiner Anmerkung zuvor
Eigentlich reicht d = 5 m doch aus.
mfg Georg

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Gibt es da nicht einen Witz? Ein Wald hat einen Durchmesser von 1 km. Wie weit kann man in den Wald hineinlaufen?

Naja. 500 m, dann läuft man ja wieder heraus.

So gesehen braucht man eine Kugel von 5 m Radius damit man man 5 m tief tauchen kann. Ansonsten taucht man 2.5 m tief und dann wieder auf.

5m tief bedeutet ja 5 m unterhalb der Wasseroberfläche. Eigentlich müsste die Kugel noch größer sein solange Lucy und der Frosch nicht als Punktförmig angenommen werden.

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Vielen Dank für deine Unterstützung, Der_Mathecoach.
Ich denke, damit ist alles gesagt und beantwortet.

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Sehe ich nicht so.
Auf irdische Verhältnisse übertragen : In eine Glaskugel
( Kugelaquarium ) mit d = 5 m kann ich auch 5 m tief tauchen
und befinde mich dann 5 m von der Wasseroberfläche.
Könnte man für das Weltraumaquarium auch so sehen.
mfg Georg

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Meinst du ein Kugelaquarium mit Wänden? Dann ginge das. Aber die Kugel auf der Raumstation sollte ja schwerelos sein und ohne Wände im Raum schweben.  Sonst könnten auch nicht 2 Kugeln zu einer größeren verschmelzen.

Sehr unsinnig aber ich habe die Aufgabe nicht gemacht. die waren wohl nie auf Deep Space 9 oder wie das heißt. Dort haben wir ja auch eine Gravitation. Daher wusste ich ja zu Anfang auch nicht genau wie es gemeint war.

Es macht aber so nur sinn wie es JotEs interpretiert hat und bei einer Kugel ohne Begrenzung ist der tiefste Punkt das Zentrum der Kugel. Beachte im schwerelosen Raum gibt es kein Unten und Oben. Unten und oben kennen wir hier nur wegen der Gravitation.

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(*Scherzmodus an*)
" Beachte im schwerelosen Raum gibt es kein Unten und Oben."
Dann kann ich auch nicht wie in der Fragestellung gesagt
" tief tauchen ".  Von Tiefe beim Tauchen spricht man bei
Entfernungen zwischen Oben und Unten.
Anstelle von
" Lucy möchte mit  Qark gerne 5m tief tauchen ."
wäre die Formulierung
" Die größte gradlinige Tauchstrecke soll 5 m betragen.
oder " 10 m betragen " wohl besser.
Damit ist  die Frage für mich abgehakt.
(*Scherzmodus aus*)
mfg Georg

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Es gibt kein Unten und kein Oben aber 5 m unter der Oberfläche. Da die Oberfläche allerdings eine Kugel ist braucht es einen Punkt unter jedem Punkt der Oberfläche...

Ok. Vergessen wir das uns verschieben diese Frage zu gute-philosophische-fragen.de