Die Beiden befinden sich ausdrücklich in einer Raumstation, es darf also wohl angenommen werden, dass Schwerelosigkeit herrscht.
Unter dieser Annahme braucht die Kugel, in der der Frosch schwimmt, keine festen Wände, sondern ist einfach eine im Raum schwebende Kugel aus Wasser. Gleiches gilt für die zweite Wasserkugel, die Lucy in die Froschkugel hineinpustet.
Sobald die beiden Wasserkugel sich berühren, bilden sie eine neue, größere Kugel. Diese muss folgende Eigenschaften haben, damit Lucy darin 5 m tief tauchen kann:
Wassertemperatur T = 23 ° C
Radius r = 5 m.
Daraus kann man nun auf die Eigenschaften der hineingepusteten zweiten Kugel schließen:
Deren Volumen V2 muss gleich dem Volumen V einer Kugel mit dem Radius r = 5 m abzüglich dem Volumen V1 der Froschkugel sein. Die Froschkugel hat einen Radius von 1 m und somit ein Volumen von:
V1 = ( 4 / 3 ) * π * 1 3 ≈ 4,189 m 3
Eine Kugel mit 5 m Radius hat das Volumen
V = ( 4 / 3 ) * π * 5 3 ≈ 523,599 m3
Somit muss die in die Froschkugel hineingepustete zweite Kugel das Volumen:
V2 = V - V1
= ( 4 / 3 ) * π * 5 3 - ( 4 / 3 ) * π * 1 3
= ( 4 / 3 ) * π * ( 5 3 - 1 3 )
= ( 4 / 3 ) * π * 124
≈ 519,410 m3
Der Radius einer solchen Kugel beträgt:
r2 = 3 √ ( 124 ) ≈ 4,9866 m
Für die Mischungstemperatur Tm der sich bildenden großen Kugel gilt:
Tm = ( m1* c1 * T1 + m2 * c2 * T2 ) / ( m1* c1 + m2* c2 )
Da beide kleineren Kugeln aus Wasser bestehen, gilt für die Wärmekapazitäten: c1 = c2 und somit kürzen sich die ci heraus. Es verbleibt:
Tm = ( m1* T1 + m2 * T2 ) / ( m1 + m2 )
wobei
T1 = 4 °C = 277,15 K beträgt und
Tm = 23 ° C = 296,15 K betragen soll, also:
296,15 K = ( m1* 277,15 K + m2 * T2 ) / ( m1 + m2 )
Da man sich für die Temperatur T2 der hineingepusteten Wasserkugel interessiert, löst man diese Formel nach T2 auf:
<=> 296,15 K * ( m1 + m2 ) = ( m1* 277,15 K + m2 * T2 )
<=> 296,15 K * ( m1 + m2 ) - m1* 277,15 K = m2 * T2
<=> T2 = ( 296,15 K * ( m1 + m2 ) - m1* 277,15 K ) / m2
Wasser hat eine Dichte von 1000 kg / m3 , also:
m1 = V1 * 1000 = 4189 kg
m2 = V2 * 1000 = 519410 kg
Einsetzen ergibt schließlich:
T2 = ( 296,15 K * 523599 - 4189 * 277,15 K ) / 519410
≈ 296,30 K
≈ 23,15 °C
Zusammenfassung:
Die Eigenschaften der von Lucy in die Froschkugel hineingepusteten Wasserkugel sind also:
Radius: 3 √ ( 124 ) m ≈ 4,9866 m
Volumen: ( 4 / 3 ) * π * 124 ≈ 519,410 m3
Temperatur: 23,15 °C