zu a)
Wenn Fakultäten auftreten, dann hilft oft die "Quotientenformel", diese zu beseitigen:
$$r=\lim _{ k\rightarrow \infty }{ } \left| \frac { \frac { { (k!) }^{ 2 }{ (1+\frac { 1 }{ k } ) }^{ { k }^{ 2 } } }{ (2k)! } }{ \frac { { ((k+1)!) }^{ 2 }{ (1+\frac { 1 }{ k+1 } ) }^{ { (k+1) }^{ 2 } } }{ (2(k+1))! } } \right| $$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty }{ } \frac { { (k!) }^{ 2 }{ (1+\frac { 1 }{ k } ) }^{ { k }^{ 2 } } }{ (2k)! } \frac { (2(k+1))! }{ { ((k+1)!) }^{ 2 }{ (1+\frac { 1 }{ k+1 } ) }^{ { (k+1) }^{ 2 } } }$$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty }{ } \frac { { (k!) }^{ 2 }{ (1+\frac { 1 }{ k } ) }^{ { k }^{ 2 } } }{ (2k)! } *\frac { (2k)!(2k+1)(2k+2) }{ { { (k!) }^{ 2 }(k+1) }^{ 2 }{ (1+\frac { 1 }{ k+1 } ) }^{ { (k+1) }^{ 2 } } }$$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty }{ } { (1+\frac { 1 }{ k } ) }^{ { k }^{ 2 } }*\frac { (2k+1)*2*(k+1) }{ { (k+1) }^{ 2 }{ (1+\frac { 1 }{ k+1 } ) }^{ { (k+1) }^{ 2 } } }$$
Vielleicht hilft dir das schon etwas weiter ...?
zu b) Hier scheint mir die Formel von Cauchy-Hadamard ("Wurzelformel") aussichtsreich zu sein ...
