Zwei symmetrische Billinearformen. Zeige: Wenn für alle v ∈ V gilt k(v,v) = l(v,v), dann folgt k = l.

Question

Gegeben sei ein K-Vektorraum V und zwei symmetrische Bilinearformen k,l : V × V → K. Zeigen Sie: Wenn für alle v ∈ V gilt k(v,v) = l(v,v), dann folgt k = l.
Hinweis: h(u + v, u + v) = l(u + v, u + v). Beachten Sie, dass in dem Körper K gilt 1 + 1 ≠ 0.

Comments

1 + 1 ≠ 0  gilt nicht in jedem Körper. Ist das eine zusätzliche Voraussetzung?

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ja wahrscheinlich so ist das.

Answer 1

Fang einfach mit dem Hinweis an und nutze auf beiden Seiten, dass gilt:

$$h(u+v,w)=h(u,w)+h(v,w)$$ und $$h(u,v+w)=h(u,v)+h(u,w)$$

Was dann noch stehen bleibt, sollte klar sein. Wende dann an, dass $$k(u,u)=l(u,u)$$ und $$k(v,v)=l(v,v)$$

Dadurch fällt einiges weg und übrig sollte bleiben

$$k(u,v)+k(v,u)=l(u,v)+l(v,u)$$

Dann Symmetrie anwenden und du bist quasi fertig, da 1+1≠0.