Umkehrfunktionen der Bijektionen durch elementare Umformungen berechnen: f(x):= √(1-x^2)

Question

Berechnen Sie die Umkehrfunktionen der nachfolgenden Bijektionen durch elementare Umformungen: 

1)

$$ ƒ:ℝ→ℝ,\quad x\longmapsto ƒ(x):=3x+7; $$

2)

$$ ƒ:\left[ 0,1 \right] \rightarrow \left[ 0,1 \right] ,\quad x\longmapsto ƒ(x):=\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } ; $$

3)

$$ ƒ:ℝ→ℝ,\quad x\longmapsto ƒ(x):={ x }^{ 3 }-3{ x }^{ 2 }+3x-1; $$

4)

$$ ƒ:ℝ→ℝ,\quad x\longmapsto ƒ(x):=x|x|; $$

 

In 3 und 4 sind Fallunterscheidungen erforderlich.

Vor allem mit der 3 und 4 komme ich nicht klar.

Comments

wie heißt der Term von 4 ?

x * Betrag (x) ?

mfg Georg

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Jo, genau. x * |x|. Hör ich auch zum ersten mal ;).

Answer 1

1.)
y = 3 * x + 7
x = 3 * y + 7
3 * y = x - 7
y = ( x - 7 ) / 3

2.)
y = √ ( 1 - x^2 )
x = √ ( 1 - y^2 )  | quadrieren
x^2 = 1 - y^2
y^2 = 1 - x^2
y =  √ ( 1 - x^2 )
( Symmetrie zur Winkelhalbierenden des 1.Quadranten

3.)
y = x^3 - 3*x^2 +3*x -1
x = y^3 - 3*y^2 + 3 *y -1
Nach y umzustellen schaffe ich leider nicht.

4.)
y = x * | x |
x = y * | y |
für y > 0
x = y * y
y^2 = x
y = ±√ x  | x >= 0  und y > 0
y = + √ x  | x >= 0
für y < 0
x = y * y * (-1)
- y^2 = x
y = ±√ ( - x ) | x < = 0 und y < 0
y = - √ ( - x ) | x < = 0
also
y = + √ x  | x >= 0
y = - √ ( - x ) | x < = 0

Ich hoffe das hilft dir weiter

mfg Georg

Comments

Kontrolliere bitte:

y = x³ - 3*x² +3*x -1 = (x-1)^3 

^3√(y) = x-1

1 + ³√y = x

f^{-1}: R --> R, f^{-1} (x) = 1 + ³√x 

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Wäre das die gesammte 3)?

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Wie meinst du das? Was fehlt? - Bitte Seite neu laden ;)

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Das was du geschrieben hast ;):

y = x³ - 3*x² +3*x -1 = (x-1)³

³√(y) = x-1

1 + ³√y = x

f^-1: R --> R, f^-1 (x) = 1 + ³√x

Das wäre dann die 3) ne?

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ja, sieht danach so aus .)