Aufgabe:
Ich habe folgende Übungsaufgabe zu Umkehrfunktionen. Die ersten beiden habe ich mit rumprobieren und logisch einschätzen gelöst bekommen aber strukturell verstehe ich nicht wie ich diese Aufgaben lösen soll.
Bei c z.B. habe ich die Funktion nach e aufgelöst was e=-a ergibt und versucht die Funktion in den Definitions/EWertebereich aus a zu bekommen. das funktioniert allerdings nicht, da der bx-Anteil wachsen muss um die Funktion auf der x-Achse zu verschieben. Wie löse ich Aufgabe c und d und wie löst man Umkehrfunktionen im allgemeinen mit der Information, dass sie injektiv, surjektiv oder bijektiv sein sollen.
Text erkannt:
Tipp für die folgende Aufgabe: Skizzieren Sie die Situationen! Wo liegen Definitions- und Zielbereich? Wie sehen die angegebenen Funktionen für verschiedene Parameter aus?
Mit "anständig definiert" ist im Folgenden gemeint, dass zu jedem \( x \) aus dem Definitionsbereich der entsprechende \( y \)-Wert tatsächlich im Zielbereich liegt.
(a) Die Tanzschule SurInBi in Unendlichland beginnt einen neuen Tanzkurs. Die Damen und Herren erhalten jeweils eine Nummer. Dabei gibt es zu jeder reellen Zahl \( x \in[0 ; 8] \) einen Herren und zu jeder reellen Zahl \( y \in[0 ; 2] \) eine Dame.
Nun überlegen die Tanzkurs-Leiter, wie sie die Tanzpaare zusammenstellen sollen.
Sura schlägt eine Zuteilung gemäß \( y=a_{1}(x-1)^{2} \) vor, Suri schlägt eine Zuteilung gemäß \( y=a_{2} \cdot x \cdot(x-8) \) vor.
Wie müssen \( a_{1} \) und \( a_{2} \) gewählt werden, damit die Zuordnung anständig definiert und surjektiv ist, also jede Dame zum Tanz aufgefordert wird?
\( a_{1}=\frac{2}{49}, a_{2}=\frac{-1}{8} \text {. } \)
(b) Bei der genaueren Betrachtung fällt dann allerdings auf, dass bei diesen Vorschlägen mehrere Herren sich um eine Dame streiten. Daher macht Inge den Vorschlag der Zuteilung gemäß \( y=\frac{2}{81}(x-d)^{2} \), wobei \( d>0 \) sein soll.
Wie muss \( d \) gewählt werden, damit die Zuordnung anständig definiert und injektiv ist, also jedem Herren eine Dame zugeordnet wird, aber keine Dame mehrfach zum Tanz aufgefordert wird?
Es muss \( d \geq 8 \) und \( d \leq 9 \) sein.
(c) Wieder zeigt eine genauere Analyse, dass der Vorschlag nicht optimal ist: Einige Damen bleiben ohne Tanzpartner. Daraufhin schlägt Bianka eine Zuordnung der Form \( y(x)=a(x+1)^{2}+e \) vor und behauptet, dass es passende Werte \( a>0 \) und \( e \) gibt, so dass die Zuordnung bijektiv ist, also jedem Herren genau eine Dame zugeordnet ist und dabei alle Damen zum Tanz aufgefordert werden.
Wie müssen \( a \) und \( e \) gewählt werden?
\( a=\frac{1}{2}, e=1 \text {. } \)
(d) Der Tanzkurs soll nun entsprechend der Zuordnung aus (c) durchgeführt werden und mit einer Damenwahl beginnen, d.h., die Damen fordern die Herren zum Tanz auf. Dabei steckt der Tanzkurs-Leiter jeder Dame \( y \) einen Zettel mit der Nummer des Herren zu, der entsprechend der Zuteilung aus (c) zu ihr gehört. Welchen Herren \( x \) bekommt die Dame \( y \) ?
\( x=? \).
Hinweis: Um Wurzelausdrücke einzugeben, können Sie "sqrt" nutzen, z.B. "sqrt(3/4 y)" für \( \sqrt{\frac{3}{4} y} \).
