Bruchumformung: Müsste im Nenner nicht (6-5x)^{2k+ 2} rauskommen?

Question

Hallo Community,

ich wollte nachfragen, wie man von einem Schritt zum nächten kommt :)

$$k!{ 5 }^{ k }\frac { (k+1){ (6-5x) }^{ k }(-5) }{ { [{ (6-5x) }^{ k+1 }] }^{ 2 } } =\frac { (k+1)!\quad { 5 }^{ k+1 } }{ { (6-5x) }^{ k+2 } } $$

Zum Zähler: Da weiß ich jetzt nicht wie man auf die $${ 5 }^{ k+1 }$$ kommt

Zum Nenner: Müsste da nicht $${(6-5x) }^{ 2k+2 }$$ rauskommen??

Answer 1

Da fehlt ein Minuszeichen. Das richtige Ergebnis ist:

$$k!{ 5 }^{ k }\frac { (k+1){ (6-5x) }^{ k }(-5) }{ { [{ (6-5x) }^{ k+1 }] }^{ 2 } } = - \frac { (k+1)!(5^{ k+1 })}{ { (6-5x) }^{ k+2 } }$$

Wie kommt man da hin?

Zum Nenner: Müsste da nicht

$${(6-5x) }^{ 2k+2 }$$

Richtig, aber ( 6 - 5 x ) ^k kürzt sich einmal gegen den entsprechenden Term im Zähler.
Übrig bleibt im Nenner
$${(6-5x) }^{ k+2 }$$

 

Außerdem ist (im Zähler):

k ! * ( k + 1 ) = ( k + 1 ) !

Schließlich ist:

5 ^k ( - 5 ) = -  ( 5 ^{k + 1} )

Das Minuszeichen muss dir verloren gegangen sein.

Comments

Gerne, bin jetzt auch fertig mit den Korrekturen :-)

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Das Minuszeichen muss dir verloren gegangen sein.

und zwar im ersten Term, wenn der nämlich  k!·5^k·( 1/(6-5x)^k+1 )' ist

Answer 2

 

Zähler:

k! * (k + 1) = (k + 1)!

 

Zähler: (6 - 5x)^k

Nenner: [(6 - 5x)^k+1]² = (6 - 5x)^2k+2 = (6 - 5x)^2k * (6 - 5x)² = (6 - 5x)^k * (6 - 5x)^k * (6 - 5x)²

Die blauen Terme werden gekürzt, so dass im Zähler eine 1 stehen bleibt und im Nenner

(6 - 5x)^k * (6 - 5x)² = (6 - 5x)^k+2

Deine Überlegung bzgl. des roten Terms war also richtig!

 

Zähler:

Warum 5^k * (-5) = 5^k+1 sein soll, kann ich auch nicht nachvollziehen. Nach meiner Meinung sollte gelten:

5^k * (-5) = 5^k * 5 * (-1) = 5^k+1 * (-1) = -5^k+1

 

Besten Gruß