Algebra Bruchumformung Beweis Binominalkoeffizient

Question

Aufgabe:

(Siehe Bild)

Problem/Ansatz:

Wie komme ich von Zeile 2 auf Zeile 3 ? (Rechter Nenner-Teil)

Verstehe gerade nicht mehr, was ich gemacht habe.

Gibt es einen Zwischenschritt den ich übersprungen habe?

Text erkannt:

b) Beweise, dass gilt:
\( \begin{array}{l} \left(\begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) \\ \frac{(n+1) !}{k ! \cdot(n+1-k) !}=\frac{n !}{(k-1) ! \cdot(n-(k-1)) !}+\frac{n !}{k ! \cdot(n-k) !}-\text { Evweiterung }_{\text {mit }(n+1-k)} \\ \text { Erweiterung / }=\frac{n !}{(k-1) ! \cdot(n-(k-1)) !}+\frac{n ! \cdot(n+1-k)}{k ! \cdot(n-k) ! \cdot(n+1-k)} \\ =\frac{n ! \cdot k+n ! \cdot(n-k+1)}{k ! \cdot(n+1-k) !} \\ =\frac{n ! \cdot(k+n-k+1)}{k ! \cdot(n+1-k) !} \\ =\frac{n ! \cdot(n+1)}{k ! \cdot(n+1-k) !} \\ =\frac{(n+1) !}{k ! \cdot(n+1-k) !} \quad \text { q.e.d. } \\ \end{array} \)

Answer 1

Aloha :)

Ich extrahiere mal das Problem im Nenner:$$(n-k)!\cdot(n+1-k)=(\pink{n-k})!\cdot(\pink{n-k}+1)=(\pink{n-k}+1)!$$Setze \(m=\pink{n-k}\), dann steht da: \(\;m!\cdot(m+1)=(m+1)!\;\) oder ausführlich:$$\underbrace{1\cdot 2\cdot3\cdots m}_{=m!}\cdot(m+1)=(m+1)!$$