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Aufgabe:

(Siehe Bild)


Problem/Ansatz:

Wie komme ich von Zeile 2 auf Zeile 3 ? (Rechter Nenner-Teil)

Verstehe gerade nicht mehr, was ich gemacht habe.

Gibt es einen Zwischenschritt den ich übersprungen habe?

09235DF6-01E4-4822-A7ED-21A4E8D18ACA.jpeg

Text erkannt:

b) Beweise, dass gilt:
(n+1k)=(nk1)+(nk)(n+1)!k!(n+1k)!=n!(k1)!(n(k1))!+n!k!(nk)! Evweiterung mit (n+1k) Erweiterung / =n!(k1)!(n(k1))!+n!(n+1k)k!(nk)!(n+1k)=n!k+n!(nk+1)k!(n+1k)!=n!(k+nk+1)k!(n+1k)!=n!(n+1)k!(n+1k)!=(n+1)!k!(n+1k)! q.e.d.  \begin{array}{l} \left(\begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) \\ \frac{(n+1) !}{k ! \cdot(n+1-k) !}=\frac{n !}{(k-1) ! \cdot(n-(k-1)) !}+\frac{n !}{k ! \cdot(n-k) !}-\text { Evweiterung }_{\text {mit }(n+1-k)} \\ \text { Erweiterung / }=\frac{n !}{(k-1) ! \cdot(n-(k-1)) !}+\frac{n ! \cdot(n+1-k)}{k ! \cdot(n-k) ! \cdot(n+1-k)} \\ =\frac{n ! \cdot k+n ! \cdot(n-k+1)}{k ! \cdot(n+1-k) !} \\ =\frac{n ! \cdot(k+n-k+1)}{k ! \cdot(n+1-k) !} \\ =\frac{n ! \cdot(n+1)}{k ! \cdot(n+1-k) !} \\ =\frac{(n+1) !}{k ! \cdot(n+1-k) !} \quad \text { q.e.d. } \\ \end{array}

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Aloha :)

Ich extrahiere mal das Problem im Nenner:(nk)!(n+1k)=(nk)!(nk+1)=(nk+1)!(n-k)!\cdot(n+1-k)=(\pink{n-k})!\cdot(\pink{n-k}+1)=(\pink{n-k}+1)!Setze m=nkm=\pink{n-k}, dann steht da:   m!(m+1)=(m+1)!  \;m!\cdot(m+1)=(m+1)!\; oder ausführlich:123m=m!(m+1)=(m+1)!\underbrace{1\cdot 2\cdot3\cdots m}_{=m!}\cdot(m+1)=(m+1)!

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