Funktionenscharen und Extrempunkte

Question

"f ist eine Funktion der Schar fk (x) = e^x * (e^x - k) Bestimmen Sie den Extrem- bzw. Den Wendepunkt des Graphen von fk." Wie komme ich auf die Nullstellen der Ableitung??

Answer 1

Funktion und Ableitungen

f(x) = e^x·(e^x - k) = e^{2·x} - k·e^x
f'(x) = 2·e^{2·x} - k·e^x = e^x·(2·e^x - k)
f''(x) = 4·e^{2·x} - k·e^x = e^x·(4·e^x - k)

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = 1 - k

Extrempunkte f'(x) = 0

2·e^x - k = 0
x = LN(k/2) für k > 0

f(LN(k/2)) = - k^2/4
f''(LN(k/2)) > 0 --> Tiefpunkt

Wendepunkte f''(x) = 0

4·e^x - k = 0
x = LN(k/4) für k > 0

f(LN(k/4)) = - 3·k^2/16