13)\(f_k(x)=-x^3+kx^2+(k-1)x\)
Zeigen sie, dass sich alle Funktionsgraphen in genau 2 Punkten schneiden
\(f_k(x)=-x^3+kx^2+kx-x\)
Ich setze nun \(k=0\) und erhalte \(p(x)=-x^3-x\)
Ich bringe nun beide Funktionen zum Schnitt.
\(-x^3+kx^2+kx-x=-x^3-x\)
\(kx^2+kx=0|:k\) mit \(k≠0\) erhalte ich
\(x^2+x=0\) Satz vom Nullprodukt:
\(x(x+1)=0\)
\(x_1=0\) → \(f_k(0)=0\)
\(x_1=0\) → \(p(0)=0\)
\(x_2=-1\) → \(f_k(-1)=1+k-k+1=2\)
\(P_1(0|0)\) und \(P_2(-1|2)\)
Für \(k=0\) ergeben sich die beiden Punkte \(P_1(0|0)\) und \(P_2(-1|2)\)
....
Ich setze nun \(k=10\):
\(-x^3+10x^2+10x-x=-x^3-x\)
\(10x^2+10x=0|:10\)
\(x^2+x=0\)
\(x_1=0\)
\(x_2=-1\) und erhalte damit wieder \(P_1(0|0)\) und \(P_2(-1|2)\)
Jetzt nehme ich \(f_k=f_l\)
\(-x^3+kx^2+kx-x=-x^3+lx^2+lx-x\) mit \(k≠l\)
\(kx^2+kx=lx^2+lx\)
\(kx^2+kx-lx^2-lx=0\)
\(k(x^2+x)-l(x^2+x)=0\)
\((k-l)(x^2+x)=0\)
Da \(k≠l\) ist, kann durch \((k-l)\) geteilt werden:
\(x^2+x=0\) und erhalte damit wieder \(P_1(0|0)\) und \(P_2(-1|2)\) q.e.d.